FIIFO 3

PROBABILITES - STATISTIQUES

PROCESSUS STOCHASTIQUES
Stochastique vient du grec stokhastikos qui veut dire conjectural et de stockhos qui signifie but. Se dit de phénomènes qui partiellement relèvent du hasard et pour lesquels on ne peut formuler que des prévisions globales d’ordre statistique. En informatique un calculateur stochastique est un calculateur dans lequel l’information est codée par une probabilité.

1.

INTRODUCTION
1.1. RAPPELS ET COMPLEMENTS 1.1.1. La fonction o ( h )

Lors de l’étude des processus stochastiques à temps continu, nous utiliserons la notation o ( h ) o(h) C’est une fonction de h définie dans un intervalle autour de l’origine et telle que lim = 0, h→0 h ce qui signifie que lorsque h tend vers 0 , o ( h ) est négligeable par rapport à h . EXEMPLES 2u2 - u3 = o ( u ) 1 - cos u = o ( u ) sin u ≠ o ( u ) 1.1.2. Espérances mathématiques conditionnelles Soit { B1 , B2 , . . .} une partition de l’univers et X une variable aléatoire discrète de distribution pn = p ( X = xn ) . alors d’après le théorème des probabilités composées on a p n = ∑ p( X = x n B k ) p( B k ) pour tout n ∈ N k De même si X est continue de densité f ( x ) on obtient  f ( x ) = ∑ f ( x B k ) p( B k ) k où f ( xBk) est la densité conditionnelle de X sachant que l’événement Bk est réalisé. L’espérance mathématique de X est donc  E ( X ) = ∑ E( X B k ) p( B k ) k où E ( XBk) est l’espérance mathématique conditionnelle de X sachant que Bk est réalisé. Elle est définie par E ( XBk) = ∑ x n p( X = x n B k ) n ou par
 E ( XBk) = ∫ xf ( x B k )dx .
J-P LENOIR Page 137 CHAPITRE 8

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1.1.3. Généralisations du théorème de multiplication Nous aurons besoin de deux généralisations du théorème des probabilités composées ou de multiplication. Elles sont énoncées sans démonstration. • Si les événements A1 , A2 , . . . , An sont de probabilité non nulle, on a : p( A1∩A2∩ . . . ∩ An ) = p( A1A2∩ . .