Processus stochastiques

Pages: 49 (12122 mots) Publié le: 11 juillet 2012
FIIFO 3

PROBABILITES - STATISTIQUES

PROCESSUS STOCHASTIQUES
Stochastique vient du grec stokhastikos qui veut dire conjectural et de stockhos qui signifie but. Se dit de phénomènes qui partiellement relèvent du hasard et pour lesquels on ne peut formuler que des prévisions globales d’ordre statistique. En informatique un calculateur stochastique est un calculateur dans lequel l’informationest codée par une probabilité.

1.

INTRODUCTION
1.1. RAPPELS ET COMPLEMENTS 1.1.1. La fonction o ( h )

Lors de l’étude des processus stochastiques à temps continu, nous utiliserons la notation o ( h ) o(h) C’est une fonction de h définie dans un intervalle autour de l’origine et telle que lim = 0, h→0 h ce qui signifie que lorsque h tend vers 0 , o ( h ) est négligeable par rapport à h .EXEMPLES 2u2 - u3 = o ( u ) 1 - cos u = o ( u ) sin u ≠ o ( u ) 1.1.2. Espérances mathématiques conditionnelles Soit { B1 , B2 , . . .} une partition de l’univers et X une variable aléatoire discrète de distribution pn = p ( X = xn ) . alors d’après le théorème des probabilités composées on a p n = ∑ p( X = x n B k ) p( B k ) pour tout n ∈ N
k

De même si X est continue de densité f ( x ) onobtient  f ( x ) = ∑ f ( x B k ) p( B k )
k

où f ( xBk) est la densité conditionnelle de X sachant que l’événement Bk est réalisé. L’espérance mathématique de X est donc  E ( X ) = ∑ E( X B k ) p( B k )
k

où E ( XBk) est l’espérance mathématique conditionnelle de X sachant que Bk est réalisé. Elle est définie par E ( XBk) = ∑ x n p( X = x n B k )
n

ou par
 E ( XBk) = ∫ xf ( x B k)dx .
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1.1.3. Généralisations du théorème de multiplication Nous aurons besoin de deux généralisations du théorème des probabilités composées ou de multiplication. Elles sont énoncées sans démonstration. • Si les événements A1 , A2 , . . . , An sont de probabilité non nulle, on a : p( A1∩A2∩ . . . ∩ An ) = p( A1A2∩ . .. ∩ An )p( A2A3∩ . . . ∩ An ) . . . p( An-1An ) p( An ) • Si A , B , C sont de probabilité non nulle, on a : p( A∩BC ) = p( AB∩C ) p( BC ) 1.1.4. Quelques propriétés de la loi exponentielle La loi exponentielle joue un rôle fondamental dans les processus stochastiques à temps continu. Nous allons en exposer les propriétés les plus importantes. Soit un dispositif technique , dont la durée T debon fonctionnement suit une loi exponentielle de densité f ( t ) = λe-λt pour t ≥ 0 , où λ est un paramètre positif. • La loi exponentielle est sans mémoire : p ( T > t + uT > u ) = p ( T > t ) = e-λt , où t > 0 et u > 0 . Cela signifie que la probabilité de bon fonctionnement pendant un intervalle ] u , u + t ] ne dépend que de la longueur t de cet intervalle. • Si le dispositif fonctionneencore à l’instant t , la probabilité pour qu’il tombe en panne pendant l’intervalle ] t , t + Δt ] est approximativement égale à λΔt . En effet : p ( t < T ≤ t + Δt ) p ( T ≤ t + Δt T > t ) = = 1 - e-λΔt = λΔt + o ( Δt ) p(T > t) car ex = 1 + x + o ( x ) . • Soit T1 , T2 , . . . , T n des variables aléatoires indépendantes distribuées selon des lois exponentielles de paramètres λ1 , λ2 , . . . , λn.Alors T = min ( T1 , T 2 , ... , T n ) suit une loi exponentielle de paramètre λ1 + λ2 + . . . + λn . • Voici une conséquence des deux dernières propriétés, très utile pour la suite. Supposons qu’à un instant donné t , n dispositifs fonctionnent indépendamment l’un de l’autre, la distribution commune de leurs durées de vie étant exponentielle de paramètre λ . La probabilité qu’exactement un deces dispositifs tombe en panne pendant l’intervalle ] t , t + Δt ] est donnée par nλΔt + o ( Δt ) . 1.1.5. La loi Gamma La loi Gamma de paramètre λ et n ( ou loi d’Erlang d’ordre n ) est la somme Sn de n variables indépendantes T1 , T2 , . . . , T n obéissant à la même loi exponentielle de paramètre λ.

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λ(λt ) n−1...
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