Correction crpe groupe 42007

1608 mots 7 pages
Groupe 4 2007

|Mathématiques |

Exercice 1 :

1) Les diviseurs de 6 sont : 1, 2, 3 (6 étant lui-même)
Or 1+2+3= 6 donc 6 est nombre parfait. Les diviseurs de 496 sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248
Or 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 donc 496 est un nombre parfait.

2) Les diviseurs de 120 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 60
Or 60+40+30+20 = 150 >120 donc 120 n’est pas un nombre parfait

3)
A)
- Pour n=1 on a 2n+1-1= 2²-1=3 qui est un nombre premier.
Donc 21(2²-1)=6. Or 6 est un nombre parfait (q°1) - Pour n=2 on a 2n+1-1= 23 -1= 7 qui est un nombre premier donc 2²(23-1) = 28 qui est un nombre parfait comme indiqué dans l’énoncé. - Pour n=3 on a 2n+1-1= 24-1= 15 Or 15 n’est pas un nombre premier (il est divisible par 3) donc 23(24-1) = 120 n’est pas parfait (q°2) - Pour n=4 on a 2n+1-1= 25-1=31 qui est un nombre premier. Donc 25(24-1)=496 qui est bien en nombre parfait d’après la question 1.

B)
N= 2n(2n+1-1) est croissante, donc pour trouver le plus petit entier parfait pair supérieur à 496 il suffit de trouver le plus petit entier n supérieur à 4 pour lequel (2n+1-1) est un nombre entier. -Pour n=5 on a 26 – 1 = 63 or 63 n’est pas un nombre premier (divisible par 7) donc dans ce cas N=25(26 – 1) n’est pas parfait. - Pour n=6 on 27 – 1=127 qui est un nbre premier (d’après la liste donnée) donc dans ce cas N est parfait. On obtient N= 26 (27 – 1) = 8128 qui est parfait. C’est le plus petit nombre parfait pair supérieur à 496.

Exercice 2 :

1) Figure

2)

A)
ABCD est un carré et 0 centre de ce carré d’après l’énoncé. Dc 0 milieu de BD donc AO est une médiane du triangle ABD. I milieu de AB donc DI médiane de ABD. E est l’intersection des deux médianes c’est le centre de gravité du triangle ABD. On sait que le centre de gravité d’un triangle est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet, donc AE/AO=2/3.
Or AO=AC/2 donc AE /AC/2=2/3 soit

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