ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires
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MATHEMATIQUES
Option économique
Lundi 7 mai 2012 de 8h à 12h
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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1
On admet que, si une suite ( an ) n∈ℕ converge vers le réel ℓ , alors on a : lim

n → +∞

1 n−1
∑aj = ℓ . n j =0

On se propose d’étudier la suite ( un )n∈ℕ , définie par la donnée de u0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : un +1 =

un 2 + 1

.
2
1) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 ≤ un < 1 .
b) Étudier les variations de la suite ( un ).
c) Déduire des questions précédentes que la suite (un) converge et donner sa limite.
2) Pour tout entier naturel n, on pose : vn = 1 − un .
1
1
1
a) Montrer que lim (
− )= . n →+∞ v vn 2 n +1
b) Utiliser le résultat admis en début d'exercice pour trouver un équivalent de vn lorsque n est au voisinage de +∞.
2
1
c) En déduire que un = 1 − + o( ) .
+∞
n n 1/4

3) a) Écrire une fonction Pascal d’en-tête function u (n : integer) : real ; qui renvoie la valeur de un .
b) En déduire un programme, rédigé en Pascal, qui permet de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de n pour laquelle on a : 1 − un < 10−3 .

Exercice 2
1) Montrer que, si f désigne un endomorphisme de ℝ 3 diagonalisable, alors l’endomorphisme f
est