Universit´ e Bordeaux 1
Licence de Sciences et Technologies
2012-2013

Fondamentaux pour les Math´ ematiques et l’Informatique
M1MI1002

Corrig´e du premier devoir surveill´e
Exercice 1.
Les symboles p et q d´esignent des propositions logiques.
´
1. Ecrire la table de v´erit´e de la proposition p ⇒ q.
D’apr`es le cours, la table est la suivante : p V
V
F
F

q
V
F
V
F

p⇒q
V
F
V
V

´
2. Ecrire la proposition ¬(p ⇒ q) sans utiliser le connecteur ⇒ (donc en n’utilisant que les connecteurs
∨, ∧ et ¬).
On v´erifie facilement que ¬(p ⇒ q) et p ∧ ¬q ont pour table de v´erit´e p V
V
F
F

q
V
F
V
F

¬(p ⇒ q)
F
V
F
F

p ∧ ¬q
F
V
F
F

La proposition ¬(p ⇒ q) est donc ´equivalente `a la proposition p ∧ ¬q.
3. Simplifier la proposition ¬((p ∨ ¬q) ⇒ q).
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, ¬((p∨¬q) ⇒ q) ´equivaut `a (p∨¬q)∧¬q. Cette derni`ere est vraie si et seulement si ¬q est vraie et p ∨ ¬q est vraie. Mais si ¬q est vraie, alors p ∨ ¬q est vraie. Donc (p ∨ ¬q) ∧ ¬q est
´equivalente ` a ¬q.
´
4. Ecrire la proposition ¬(p ⇔ q) sans utiliser les connecteurs ⇒ ni ⇔.
Il est bien connu que p ⇔ q ´equivaut a` (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) et que la n´egation de ∧ est ∨. Donc ¬(p ⇔ q)
´equivaut `a ¬((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)), c’est-`a-dire `a ¬(p ⇒ q) ∨ ¬(q ⇒ p) ou encore `a (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)
Exercice 2.

On consid`ere les trois sous-ensembles suivants de E = {0, 1, 2, . . . , 30} :

A l’ensemble des ´el´ements de E qui sont des nombres pairs,
B l’ensemble des ´el´ements de E qui sont des multiples de 6,
C l’ensemble des ´el´ements de E qui sont des multiples de 9.
1. D´eterminer l’ensemble A ∩ (B ∪ C).
Par d´efinition, B = {0, 6, 12, 18, 24, 30} et C = {0, 9, 18, 27}. Cela entraine imm´ediatement que B ∪C =
{0, 6, 9, 12, 18, 24, 27, 30}, et A ∩ (B ∪ C) = {0, 6, 12, 18, 24, 30}.
2. Quels sont les ´el´ements de l’ensemble B\C ? Ceux de A\(B\C) ?
On a B\C = {6, 12, 24, 30} et A\(B\C) = {0, 2, 4, 8, 10, 14, 16, 18, 20, 22, 26, 28}.
3. L’ensemble A\(B\C) est-il ´egal ` a (A ∩ C) ∪ (A\B) ?
On a A ∩ C = {0, 18}, A\B