Année 2005/2006

SESSION DE MAI 2006

ETAPE : PING2, SPC2, CHIM2, 2PREA, MAT2 Code UE : PIN 201 Epreuve de : Mécanique du point Date : Lundi 29 Mai 2005 Heure : 11h00 – 12h30
Département de formation Premier cycle

Durée : 1h 30

Documents non autorisés

Dans un repère cartésien orthonormé R (O, ex , e y , ez ) , on étudie le mouvement d’une particule astreinte à se déplacer sans frottement sur la surface interne (S) d’un cône renversé fixe de sommet r O et d’axe (O, ez ) . On assimile cette particule à un point matériel M, de masse m.

r r r

z

On utilise un système de coordonnées cylindriques ρ, ϕ, z et le repère local orthonormé correspondant r r r Rl ( M , eρ , eφ , ez ) (figure 1), de sorte que :

uuuu r r r OM = ρ eρ + zez
Les coordonnées de tout point M ∈ (S) satisfont la relation ρ = α z quelque soit φ, (α constante positive, z > 0) . La particule est soumise exclusivement à deux forces : son poids
M

r ez r eφ r r eρ ey rO ρ ex φ

r P

y

et la force de contact ou de réaction interne (S) du cône.

r R exercée par la surface

I- Principe Fondamental de la Dynamique (9 points) x
a) Pour tout point se déplaçant sur (S), on utilisera

Figure 1. et leurs dérivées par rapport au

ρ ,φ

temps comme variables indépendantes : donner l’expressions des vecteurs

r r v M et γ M .

& r r r r d OM 1r &r & r &r ρ r &r & & & On sait que vM = = ρeρ + ρφeφ + zez = ρeρ + ρφeφ + ez = ρ (eρ + ez ) + ρφeφ dt α α r r 1r &r & vM = ρ (eρ + ez ) + ρφeφ 0,5 pt && γ M = ρ (eρ + r r

α

&& r r 1r &r & r & r & r ρr & & && && & & ez ) + ρ φeφ + ρφeφ + ρφ&eφ − ρφ 2eρ = ( ρ − ρφ 2 )eρ + (2 ρ φ + ρφ&)eφ + ez & & && & & γ M = ( ρ − ρφ 2 )eρ + (2 ρ φ + ρφ&)eφ + r r r && ρr e α z

α

α

0,5 pt

1

b) Que peut-on dire du produit scalaire réaction

r R satisfait l’équation Rφ = 0 , et en déduire une relation entre les composantes

r r R .vM ? Montrer que l’une des composantes de la

Rρ et Rz .

r Sans frottement, la force de