Mathématiques L1
Cours de Jean-François Caulier
TD de G.Arnould

Date : 17/10/2014

Corrigé Contrôle Continu n°1
Exercice I (5pts)
Ω

C

B
(5)
A

(1)

(2)

(4)

(3)

(6)
(8)
(7)
D

(a) Grâce à la figure ci-dessus et en utilisant les opérateurs de l’union, l’intersection et du complémentaire, définissez les parties numérotées suivantes :
i.
ii. iii. (2) (4) (6)  (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐶 ∩ 𝐵) ∪ (𝐷 ∩ 𝐵) ou 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶 ∪ 𝐷)
(1) (5) (7)  (𝐴\𝐵) ∪ (𝐶\𝐵) ∪ (𝐷\𝐵) ou (𝐴 ∪ 𝐶 ∪ 𝐷)\𝐵)
(1) (2) (8)  𝐴 ∪ (𝛺\ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∪ 𝐷)) ou 𝐴 ∪ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∪ 𝐷)𝑐

(b) Grâce à la figure ci-dessus identifiez les numéros correspondants aux expressions :
i.
ii.

𝐴𝑐 ∩ 𝐶 𝑐 ∩ 𝐷𝑐  (3) (8)
𝐶 ∪ (𝐷 ∩ 𝐵)  (4) (5) (6)

Exercice II (5pts)
Démontrez par récurrence pour tout 𝑛 ∈ ℕ et 𝑛 ≥ 1 :
𝑃(𝑛): 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 =

1
𝑛(𝑛 + 1)
2

Initialisation :
On prend comme indiqué dans l’énoncé 𝑛0 = 1 et on vérifie P(1) :
On a donc bien P(1) vraie.

1
2

. 1(1 + 1) = 1

Récurrence :
On suppose que P(n) est vraie pour un 𝑘 ∈ ℕ quelconque avec 𝑘 ≥ 1
1
𝑃(𝑘): 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)
2
Montrons alors que P(k+1) est vraie :
1
𝑃(𝑘 + 1): 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2
On a alors : 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1)

= [ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑘 ] + (𝑘 + 1)
1
= [ 2 𝑘(𝑘 + 1)] + (𝑘 + 1)
En utilisant P(k), supposée vraie
1
= (𝑘 + 1)( 𝑘 + 1)
2
𝑘+2
= (𝑘 + 1)(
)
2
1
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2
Ainsi P(k+1) est vérifiée. On a donc démontré par récurrence que P(n) est vraie pour tout
𝑛 ∈ ℕ et 𝑛 ≥ 1
Exercice III (5pts)
(a) Déterminez les intervalles définis par les expressions suivantes :
i.

|4𝑥 − 10| ≤ 2
 −2 ≤ 4𝑥 − 10 ≤ 2  8 ≤ 4𝑥 ≤ 12  2 ≤ 𝑥 ≤ 3
 𝑥 ∈ [2,3]

ii.

|3𝑥 + 9| < 6

 −6 < 3𝑥 + 9 < 6  −15 < 3𝑥 < −3  −5 < 𝑥 < −1
 𝑥 ∈ ]−5, −1[ iii. 2 < |𝑥| < 6

 si 𝑥 ≥ 0, on a :2 < 𝑥 < 6 et si 𝑥 < 0, on a : −6 < 𝑥 < −2
 𝑥 ∈ ]−6, −2[ ∪ ]2,6[
(b) Sur les intervalles suivants, déterminer si l’intervalle est majoré, minoré, s’il admet