Cour d'algèbre
37801 mots
152 pages
Contents1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Le calcul matriciel par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le compl´ment de Schur ; ses factorisations associ´es e e 1.4 Les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Noyaux, images et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Quelques aspects euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les matrices d´finies-positives (>>0) . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 9 12 13 14 15
2 Les op´rateurs de projection et sym´trie orthogonale e e 18 2.1 Projection orthogonale sur un SEV de dim. p de Rn . . . 18 2.2 Applications des projections orthogonales . . . . . . . . . . 19 3 Rappels et compl´ments sur les d´terminants e e 3.1 Qu’est ce au juste qu’un d´terminant ? . . . . . . . e 3.2 D´veloppement par rapport ` une rang´e . . . . . . e a e 3.3 Application : les formules de Cramer . . . . . . . . . 3.4 Quelques relations entre matrices et d´terminants e 21 21 24 25 26 28 28 28 31 31 33 35 36 40
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4 Isom´tries de Rn e 4.1 L’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propri´t´s g´n´rales des isom´tries . . . . . . . . . . . . . e e e e e 4.3 Isom´tries de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Liaison avec les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . 4.5 Isom´tries de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments sur les ´l´ments propres e ee
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6 Formes quadratiques et polynˆmes du second degr´ ` variable o e a vectorielle 6.1 Les matrices sym´triques r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Polynˆmes du second degr´ ` variable vectorielle . . . . . o ea 6.4 Formes canoniques . . .