Monte carlo

Pages: 208 (51764 mots) Publié le: 29 août 2012
M´thodes de Monte-Carlo e
Annie MILLET∗

Universit´s Paris 7 et Paris 1 e Master 2 `me ann´e : Sp´cialit´ Mod´lisation Al´atoire e e e e e e
Recherche et Professionnel Parcours : Statistique et Mod`les Al´atoires en Finance e e Parcours : Probabilit´s, Statistique et Applications : e Signal, Image, R´seaux e

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.61.8 2.0

* Laboratoire de Probabilit´s et Mod`les Al´atoires, Universit´s Paris 6 et Paris 7, e e e e 175 rue du Chevaleret 75013 Paris France et SAMOS-MATISSE, Universit´ Paris 1, 90 Rue de Tolbiac, 75634 Paris Cedex 13 France e e-mail : amil@ccr.jussieu.fr et amillet@univ-paris1.fr

Table des mati`res e
1 G´n´rateurs de nombres pseudo-al´atoires et e e e 1.1 Introduction . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1.2 Quelques g´n´rateurs fournis par les syst`mes e e e 1.3 G´n´rateurs portables . . . . . . . . . . . . . e e 1.4 Suites ` discr´pance faible . . . . . . . . . . . a e 2 Simulation de variables al´atoires. e 2.1 M´thode d’inversion . . . . . . . . . . . e 2.2 M´thode de rejet pour les lois uniformes e 2.3 M´thode de rejet g´n´rale . . . . . . . . e e e 2.4 Lois gaussiennesr´elles . . . . . . . . . . e 2.5 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . 2.6 Quelques autres lois classiques . . . . . . 2.7 M´thode de d´composition . . . . . . . . e e 2.8 Simulation de vecteurs al´atoires . . . . e 2.9 M´thode de m´lange . . . . . . . . . . . e e 2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . discr´pance e . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 4 . 6 . 7 . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 18 19 22 25 27 28 29 29 30 36 36 44 46 51 54 56 61 64 64 66 76 79 82 82 85 85 87 88 90 91 91

3 Simulation de processus 3.1 Mouvement Brownien . 3.2 Int´grales stochastiques e 3.3 Sch´ma d’Euler. . . . e 3.4 Sch´ma de Milstein . . e 3.5 Processus de Poisson. . 3.6 Chaˆ ınes de Markov . . 3.7 Exercices . . . . . . . .

´ 4 Equation de Feynman-Kac et convergence faible des sch´mas de discr´tisation e e 4.1 G´n´rateur infinit´simal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e ´ 4.2 Equation de Feynman-Kac, probl`mes de Cauchy et de Dirichlet. . . . . . . . . . e 4.3Convergence faible du sch´ma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M´thode de Monte Carlo e 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 R´duction de la variance. . . . . . . . . . . . e ´ 5.2.1 Echantillonnage pr´f´rentiel . . . . . ee 5.2.2 Variables de contrˆle . . . .. . . . . o 5.2.3 Variables antith´tiques. . . . . . . . . e 5.2.4 M´thode de stratification . . . . . . . e 5.2.5 Valeur moyenne ou conditionnement 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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