Cours "nombres complexes" bts

Pages: 12 (2907 mots) Publié le: 14 mars 2013
BTS DOMOTIQUE

Nombres complexes

2008-2010

NOMBRES COMPLEXES

Table des matières
I Introduction I.1 Le nombre i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 3 4 5 6 6 6 7 8 9 9 9

II Forme algébrique II.1 Définition . . . . . . . . . II.2 Premierscalculs . . . . . . II.3 Représentation graphique II.4 Conjugué d’un complexe . II.5 Inverse d’un complexe . .

III Forme trigonométrique III.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Argument d’un complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3 Écriture trigonométrique . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Forme exponentielle IV.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Règles de calcul en notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V Formules de MOIVRE et d’EULER 10 V.1 Formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 V.2 Formules d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI Lignes de niveau VII Équations du second degré 11 12

Les chemins de la création mathématique sont imprévisibles et résultent parfois d’audacieuses transgressions des règles et savoirs établis. Le simple fait d’avoir introduit dans les calculs unsymbole pour désigner des racines carrées de nombres négatifs a conduit au fil des siècles à élaborer la puissante théorie des nombres complexes.
-1-

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I

Introduction

Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et −3. Par contre, aucun réel négatif n’a deracine carrée (réelle). Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice !

I.1

Le nombre i

Le nombre i est un nombre dont le carré vaut −1. Ainsi, i2 = −1. De plus, son opposé −i a aussi pour carré −1. En effet : (−i)2 = i2 = −1. Les deux racines de −1 sont les deux nombres réels i et −i. Un peu d’histoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puisreprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637.

I.2

L’ensemble des nombres complexes

On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s’agit de N, Z, D, Q et R : R Q 0.333 D Z −1 N 0 √ 9 1 103
6 3

π

1236π

0.008 −10025
3 25

− 13 19 √ − 4 − 2π 3
1 106

−37
4 9

−1.2
16



2

Définition 1 On définit l’ensemble C qui a les caractéristiques suivantes : ® Ses éléments sont appelés nombres complexes, ® Il contient le nombre i vérifiant i2 = −1. Remarque 1 C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
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II
II.1

Formealgébrique
Définition

Définition 2 Chaque élément z de l’ensemble C s’écrit de manière unique z = a + ib, a et b étant des réels. ® a est appelé partie réelle de z et est noté Re(z), ® b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z).

Remarque 2 Nombres particuliers : • si b = 0, on a z = a, z est donc réel, • si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur.
Exemple 1 Dans...
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