Terminale ST2S

FICHE n°5

Nombre dérivé et tangente à une courbe
I. Tangente à une courbe
L’idée La définition d’une tangente est trop compliquée pour être exposée ici et est hors programme.
L’ « idée principale » est la suivante :
La tangente à une courbe en un point A est une droite :

¤ qui passe par le point A ;
¤ qui « effleure » la courbe .

EXERCICE TYPE 1 Lire graphiquement une équation d’une tangente
On a représenté ci-dessous la courbe (Cf) représentative d’une fonction f.

T1

Cf

T0
+2

+1

Déterminer graphiquement une équation de :
a. la tangente T1 à la courbe (Cf) au point d’abscisse 1.
b. la tangente T0 à la courbe (Cf) au point d’abscisse 0.
Solution

a. Le point de la courbe d’abscisse 1 est le point (1 ; −2).
Graphiquement (voir fiche « Equations de droites »), on peut déterminer :
2
¤ le coefficient directeur de la droite T1 : = 2
1
¤ l’ordonnée à l’origine de la droite T1 : −4
Une équation de la tangente (T1) est donc : y = 2x − 4 .
b. Le point de la courbe d’abscisse 0 est le point (0 ; −3).
Comme la droite (T0) est horizontale (pas de pente), son coefficient directeur est 0.
Une équation de la tangente (T0) est donc : y = − 3 .

Remarque

La tangente à une courbe en un point A donne « l’allure de la pente de la courbe » juste autour de point A.

II. Nombre dérivé
Définition Si la courbe représentative d’une fonction f admet une tangente Ta en un point A d’abscisse a, le coefficient directeur de cette tangente Ta est appelé nombre dérivé de la fonction f en a.
On le note f ’(a).

EXERCICE TYPE 2 Déterminer graphiquement un nombre dérivé
On a représenté ci-contre la courbe (Cg) représentative d’une fonction g ainsi que la tangente ∆ à (Cg) au point d’abscisse (−3).
Déterminer graphiquement g(−3) et g’(–3).
Solution
¤ g(–3) est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse (–3), soit g(–3) = –2.
+1

¤ Par définition, g’(−3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (Cg)