Electrostatique
Chap.1 Le champ électrostatique
Chap.2 Lois fondamentales de l’électrostatique

Chap.3 Conducteurs en équilibre
Chap.4 Energie et actions électrostatiques
Chap.5 Les milieux diélectriques
Cours d’électrostatique –– CIP – S1 - 2014

Rappel mathématique –
Les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
En coordonnées cartésiennes, le déplacement élémentaire d’un point M de coordonnées (x, y, z) correspond à son déplacement jusqu’au point M’(x + dx, y + dy, z + dz). On a donc :

𝒅𝑶𝑴 = 𝑶𝑴′ − 𝑶𝑴 = 𝑴𝑴′ = 𝒅𝒙𝒖𝒙 + 𝒅𝒚𝒖𝒚 + 𝒅𝒛𝒖𝒛
On choisit souvent l’axe (Oz) comme axe de symétrie cylindrique du problème.
La position d’un point M est alors définie par l’altitude z et la distance r du point M à l’axe (Oz).
Le plan (xOy) perpendiculaire à l’axe (Oz) étant le plan polaire et on notera MP le projeté orthogonal de M sur (xOy).
MP est repéré par ses coordonnées polaires r et Ɵ.

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Coordonnées cylindriques
On construit ainsi la base de coordonnées cylindriques

définie par les trois vecteurs suivants:
• le premier vecteur noté 𝑢𝑟 est un vecteur unitaire dont la direction et le sens sont ceux du vecteur 𝑂𝑀𝑃 ,
• le second noté 𝑢𝜃 est un vecteur unitaire dans le plan
(xOy) obtenu par rotation de + 𝜋 2 autour de Oz à partir de 𝑢𝑟 ,
• le troisième noté 𝑢𝑧 est un vecteur unitaire suivant l’axe
Oz.

𝑶𝑴 = 𝒓𝒖𝒓 + 𝒛𝒖𝒛
Coordonnées cartésiennes :
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃,

→

𝑧=𝑧

𝒖𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖𝒚
𝒖𝜽 = −𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖𝒚
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Le déplacement élémentaire s’écrit :
𝑑𝑂𝑀 = 𝑑 𝑟𝑢𝑟 + 𝑧𝑢𝑧 = 𝑑𝑟𝑢𝑟 + 𝑟𝑑𝑢𝑟 + 𝑑𝑧𝑢𝑧
= 𝑑𝑟𝑢𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑢𝜃 + 𝑑𝑧𝑢𝑧

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Coordonnées sphériques
On construit ainsi la base de coordonnées sphériques définie par les trois vecteurs suivants:
• le premier vecteur noté 𝑢𝑟