ECRICOME 2003 option ECONOMIQUE

EXERCICE 1
On consid`re l’espace vectoriel E = R3 et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base e → → → canonique B = (− , − , − ) est la matrice A : e1 e2 e3   3 −2 3 2  A= 1 0 0 0 2 1. Calcul des puissances de A 1. D´terminer les valeurs propres λ1 et λ2 de l’endomorphisme f , avec λ1 < λ2 e 2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice A−1 ). 3. D´terminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f . e 4. Justifier que f n’est pas diagonalisable. → 5. D´terminer le vecteur −1 de E v´rifiant : e u e → • −1 est un vecteur propre de f associ´ ` la valeur propre λ1 u ea → • la premi`re composante de −1 est l. e u → 6. D´terminer le vecteur −2 de E v´rifiant : e u e → • −2 est un vecteur propre de f associe ` la valeur propre λ2 u a → • la deuxi`me composante de −2 est l. e u → → → → 7. Soit −3 = (1, 1, 1). Montrer que C = (−1 , −2 , −3 ) est une basede E. u u u u 8. D´terminer la matrice de passage P de la la base B dans la base C puis la matrice de passage e de la base C ` la base B. a → → → 9. Montrer que : f (−3 ) = −2 + 2−3 u u u 10. En d´duire que la matrice de f dans la base C est e  1 0  0 2 T = 0 0 11. Rappeler la relation matricielle entre A et T . 12. Prouver que pour tout ´l´ment n de N∗ il existe un ee  1 0 n  0 2n T = 0 0 r´el αn tel que : e  0 αn  2n la matrice:  0 1  2

On donnera le r´el α1 ainsi qu’une relation entre αn+1 et αn e ECRICOME 2003 Eco Page 1/ 5

13. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , αn = n2n−1 En d´duire l’´criture matricielle de An en fonction de n. e e 2. Matrices commutant avec A. M3 (R) d´signant l’ensemble des matrices carr´es d’ordre 3, on consid`re le sous-ensemble C (A) de e e e M3 (R) des matrices M telles que : AM = M A 1. Montrer que C(A) est un sous-espace vectoriel de M3 (R) 2. Pour M appartenant ` M3 (R) on pose M = P −1 M P. a Montrer que : AM = M A ⇐⇒ T M = M T (T est d´finie dans la question 1.10) e 3. Montrer qu’une matrice M