Derivation
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Chapitre : D´rivation eI)
a)
Fonction d´rivable e
D´rivabilit´ en un point e e
D´finition 1. Soient f : I −→ e fonction
R une fonction et a ∈ I. La fonction f x −→
est d´rivable en a si la e
f (x) − f (a) x−a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √
1 1 , valeur absolue, x sin x et x2 sin x .
Exemples. xn , la fonction inverse,
Par un changement de variable, on peut ´galement ´crire que si f est d´rivable en a, alors e e e f (a) = lim – On note ε(h) = f (a+h)−f (a) h
f (a + h) − f (a) . h→0 h h→0 − f (a). Alors lim ε(h) = 0. En exprimant f en fonction de ε, on en
d´duit qu’il existe une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 de limite nulle en 0 telle que e e pour h dans un voisinage de 0, f (a + h) = f (a) + hf (a) + hε(h). – R´ciproquement si il existe L ∈ et une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 de limite nulle e e en 0 telle que pour h dans un voisinage de 0, f (a + h) = f (a) + Lh + hε(h). On en d´duit que e f (a + h) − f (a) − L = ε(h) − → 0, − h→0 h d’o` f est d´rivable en a avec f (a) = L. u e Il en r´sulte le th´or`me suivant qui est la deuxi`me d´finition de la d´rivabilit´ en un point. e e e e e e e Th´or`me 1. Soient f : I −→ e e une fonction et a ∈ I. La fonction f est d´rivable en a si, et e seulement si, il existe L ∈ et une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 de limite nulle en 0 e telle que pour h dans un voisinage de 0,
R
R
R
f (a + h) = f (a) + Lh + hε(h) . De plus dans ce cas, f (a) = L et on dit que f admet un d´veloppement limit´ d’ordre 1 en a. e e 1
D´rivation e Remarques. – On dit que h −→ f (a) + f (a)h est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a. – On peut ´crire le d´veloppement limit´ sous la forme e e e f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + (x − a)ε(x − a) o` x est dans un voisinage de a. u – Si f est d´rivable en a, alors f est continue en a.