Calcul

Pages: 8 (1847 mots) Publié le: 22 octobre 2013
PCSI 1

Calculs f) h(x ) = ln(2 + e x+1 )

Lycée Kerichen

Fonction exponentielle et logarithme
Exercice n˚ Ecrire les expressions suivantes sous la 1 forme ln a avec a un réel strictement positif. √ √ a) A = ln( 3 − 1) + ln 3 − ln 12 + ln( 3 + 1) 1 b) B = ln 75 − ln 100 − ln 3 2 √ c) C = ln 3 + ln(27e) − ln(9 e) ln 9 − 1 ln 3 2 d) D = ln 36 − ln 4

g) h(x ) = ln(2 − e x+1 ) √ h) h(x ) =−2x 3 + 3x 2 + 3x − 2 i) h(x ) = ln(ln x ) √ j) h(x ) = 1 + cos x

k) h(x ) = ln(1 + cos x ) √ l) h(x ) = 3 + 2 cos x

Dérivée
Exercice n˚ Dériver les fonctions suivantes : 5 a) x → (2x − 1)3

Exercice n˚ Donner la valeur exacte de f (e), f 2 √ f ( e) et f (e 2 ) dans les cas suivants : b) f : x → ln(x 2 ) − ln x a) A = e ln 2 + e ln 3 b) B = e 4 × e −3 × e c) C = e − ln 3 + e ln 5 − e ln7 a) f : x → (ln x )2 − ln x

1 , e

Exercice n˚ Simplifier les expressions suivantes : 3

b) x → cos(2x ) cos x c) x → sin √ x d) x → sin x √ e) x → sin( x) 1+x f) x → ln 1−x g) x → ln(ln x ) i) x → e x
1

h) x → (−5x 2 + 3x + 1)e −x Exercice n˚ Dériver les fonctions suivantes : 6 b) x → (2x 2 + 3)2 (4x − 9) d) x → (3x + 1)7 (1 − 2x )3 e) x → (x 2 + x − 5)8 Exercice n˚ Dériver lesfonctions suivantes : 7 3x − 2 a) x → x +5 x −5 b) x → x +4 x 2 + 3x − 5 c) x → x +1 1 d) x → 2 x +1 x2 + x − 1 e) x → 2 x +x +1 x2 − 1 f) x → 2 3x + x + 1 1 g) x → (x − 3) 2 + 2 x h) x → 16x −3 + 4x −2 + 15 Exercice n˚ Dériver les fonctions suivantes : 8 1 c) x → (1 + x 2 )3 a) x → 3x 4 − 5x 3 + 4x 2 + 2x − 5

d) D = e 2 ln 3 × e −(1/2) ln 36 1 e) E = − ln 6 × e − ln 25 e f) F = e 3 ln 2 × e − ln 28g) G = e x (e −x + 2) + 3e x h) H = e 2x − (e x + 2)(e x − 2)

Composée
Exercice n˚ Dans les composées h = g ◦ f suivantes, 4 déterminer – la fonction f – la fonction g – écrire la condition pour que (g ◦ f )(x ) soit défini. Résoudre cette condition et en déduire l’ensemble de définition de h. a) h(x ) = ln(−x + 2) b) h(x ) = ln [(−x + 2)(x + 3)] 2x + 1 c) h(x ) = ln x +1 Question supplémentaire: comparer l’ensemble de définition de h avec l’ensemble de définition de u(x ) = ln(2x + 1)− ln(x + 1). Qu’en pensez-vous ? d) h(x ) = ln(x 2 − 3x + 2) e) h(x ) = ln (x 2 − 3x + 2)2012 + (x 2 − 3x + 2)4024

PCSI 1 √

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b) x c) x

a) x →

d) x e) x f) x

x2 + 1 √ →x x √ 1 → x2 + 2 x − x √ 2+1 → 3x x +1 → √ x √ → x
4

p) x → sin(2 cos(3x + 1))

PrimitiveExercice n˚ 11 Calculer les primitives des fonctions suivantes : b) x → cos x sin2 x c) x → sin x cos5 x a) x → sin(3x + 1)

g) x → 9x 3 √ h) x → 3 x

d) x → (7x − 1)e 3x

e) x → (x 2 − x + 3)e 2x

1 i) x → √ 3 + x4

Exercice n˚ Dériver les fonctions suivantes : 9 a) x → x sin x + cos x sin x b) x → x c) x → sin(2x + 3)

d) x → cos(2x ) 1 e) x → cos x

f) x → cos 3x + g) x → tan 1 xπ 2

h) x → tan3 (3x ) Exercice n˚ 10 Dériver les fonctions suivantes : b) x → x e −x c) x → e − 2 ex
x2

a) x → e x sin x

l) x → ch3 x sh x √ m) x → sh x ch x sh x n) x → 3 ch x sin x o) x → x e 1 p) x → x ln x ex q) x → √ 1 + ex x r) x → √ 1 + 2x 2 x s) x → cos2 x

g) x → (2x − 1)15 1 h) x → (−x + 7)2 1 i) x → (−7x + 3)3 x j) x → 2 (x + 4)2 k) x → x sin(x 2 )

f) x → (−x 2 + x + 2)e−x

d) x → x 2 ln x e) x → ln x f) x → 2x

Equation et inéquation
Exercice n˚ 12 Résoudre les équations suivantes : b) ln(1 − x ) = ln(x − 3) d) e x = e a) ln x = −2

g) x → 2x sin x h) x → x x i) x → (3 +


x 4 )π

c) (ln x )2 − 7 ln x + 6 = 0

j) x → e √ k) x → x 2 + e x m) x → ln(ln(ln x )) l) x → 3(3
x)

x 2 +1

e) e x+2 = e 5x−3 g) ch x = 2 1 h) th x = 2 i) th x = 2 f) 3ex + 4 − 7e −x = 0

n) x → ln(1 + sin2 x ) x o) x → sin x e 2

j) 2 sh x + ch x = 5

PCSI 1

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Exercice n˚ 13 Résoudre les inéquations suivantes : x +3 2x − 6 d) ln x > −1 c) −x 3 + 6x 2 − 11x + 6 > 0

d) 6x 2 + 4x − 2 f) 2x 2 − 1

c) 4x 2 − 4x + 1

e) x 2 − 14x + 33

g) x 5 + 4x 4 + 4x 3 h) 16x 2 − 64 i) x 2 + 14x + 49

e) ln(1 − 3x ) − ln x 1 3 <...
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