DEUG MIAS Informatique

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NOTIONS DE LOGIQUE MATHEMATIQUE Notes de cours D. Laurent La logique mathématique est une discipline des mathématiques qui s est beaucoup développée à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème pour donner entre autres la théorie des ensembles. Des noms célèbres de la logique sont Boole, Cantor, Hilbert, Herbrand, Russel, Le but était alors de modéliser et formaliser le phénomène de déduction mathématique. L informatique a fait « renaître » le domaine car pour modéliser le monde réel, on a besoin de concepts logiques plus avancés connus sous le nom de « logiques non classiques » opposé à la logique dite classique qui cherche essentiellement à modéliser le raisonnement mathématique. Nous allons voir les bases de la logique mathématique : 1. calcul propositionnel (ou d ordre 0) 2. calcul des prédicats (ou d ordre 1) Remarque : En logique, on distingue toujours deux aspects l aspect syntaxique : les formules ou le langage utilisé l aspect sémantique : le sens que l on donne aux formules, ou l interprétation du langage et donc la valeur de vérité des formules que l on considère Les propriétés ou théorèmes de la logique tendent à étudier les formules indépendamment de leurs interprétations pour avoir des propriétés toujours vraies. Références bibliographiques : 1. T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, Introduction à l algorithmique, Dunod, 1994 (Introduction to Algorithms (2nd Ed., MIT Press) 2. J. Velu, Méthodes mathématiques pour l informatique, Dunod, 1999 3. A. Arnold, I. Guessarian, Mathématiques pour l informatique, Masson, 2000 1. Notion de déduction Le problème à l origine de la logique est de modéliser le raisonnement (Socrate, Hilbert). Le problème, posé intuitivement est le suivant : en supposant que certaines propositions sont vraies comment prouver qu une proposition donnée Q est vraie ? L implication peut être considérée comme permettant des déductions : si on sait que la proposition P est vraie et que l implication P Q est