Deug mias informatique

Pages: 15 (3565 mots) Publié le: 1 février 2011
DEUG MIAS Informatique

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NOTIONS DE LOGIQUE MATHEMATIQUE Notes de cours D. Laurent La logique mathématique est une discipline des mathématiques qui s est beaucoup développée à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème pour donner entre autres la théorie des ensembles. Des noms célèbres de la logique sont Boole, Cantor, Hilbert, Herbrand, Russel, Le but était alors de modéliser etformaliser le phénomène de déduction mathématique. L informatique a fait « renaître » le domaine car pour modéliser le monde réel, on a besoin de concepts logiques plus avancés connus sous le nom de « logiques non classiques » opposé à la logique dite classique qui cherche essentiellement à modéliser le raisonnement mathématique. Nous allons voir les bases de la logique mathématique : 1. calculpropositionnel (ou d ordre 0) 2. calcul des prédicats (ou d ordre 1) Remarque : En logique, on distingue toujours deux aspects l aspect syntaxique : les formules ou le langage utilisé l aspect sémantique : le sens que l on donne aux formules, ou l interprétation du langage et donc la valeur de vérité des formules que l on considère Les propriétés ou théorèmes de la logique tendent à étudier les formulesindépendamment de leurs interprétations pour avoir des propriétés toujours vraies. Références bibliographiques : 1. T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, Introduction à l algorithmique, Dunod, 1994 (Introduction to Algorithms (2nd Ed., MIT Press) 2. J. Velu, Méthodes mathématiques pour l informatique, Dunod, 1999 3. A. Arnold, I. Guessarian, Mathématiques pour l informatique, Masson, 2000 1. Notion dedéduction Le problème à l origine de la logique est de modéliser le raisonnement (Socrate, Hilbert). Le problème, posé intuitivement est le suivant : en supposant que certaines propositions sont vraies comment prouver qu une proposition donnée Q est vraie ? L implication peut être considérée comme permettant des déductions : si on sait que la proposition P est vraie et que l implication P Q estvraie, alors on en déduit que Q est vraie. Par exemple, soit P = (tout entier pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux entiers premiers) et Q = (tout entier impair supérieur ou égal à 7 est la somme de trois entiers premiers). Comment prouver que la proposition Q est vraie en supposant que P est vraie (et en supposant de plus tous les résultats connus de l arithmétique) ?

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La preuveest alors la suivante : si P est vraie et si n est un entier impair supérieur à 7, alors n3 est pair et supérieur à 4. Donc n-3 = x+y où x et y sont premiers, ce qui montre que n = x+y+3, d où le résultat. Il est important de remarquer que l on n a pas démontré que Q est vraie ; on a seulement montré que l implication P Q est vraie ! (En fait on ne sait rien de Q car on ne sait pas si P est vraieou non, c est la conjecture de Golbach). Néanmoins, si l on prend cette intuition de manière formelle, on ne peut pas montrer la proposition (si P est vraie et si P est vraie, alors Q est vraie) Comme cette manière de raisonner correspond à notre intuition, cette règle est admise et est connue sous le nom de règle du modus ponens, ce qui s écrit : P, P Q |-- Q On peut ainsi montrer qu avec P =(tous les étudiants assistent aux cours d informatique) et Q = (tous les étudiants auront leurs examens), alors Q est vraie si l on suppose que P est vraie et que l implication (P Q) est vraie ! Malheureusement, toutes les déductions ne sont pas aussi simples ! Il est alors nécessaire de faire appel à des formes plus compliquées de raisonnement, dont la plus connue est le raisonnement par l absurde(ou par contraposition) : Sachant que P est vraie, pour montrer que Q est vraie, on suppose que Q est fausse et on montre alors que cela implique que P est fausse. On a alors montré que l implication ( Q P) est vraie, c'est-à-dire que (P Q) est vraie. Ceci suppose d admettre que ( Q P) est le contraire de (P Q), ce qui sera vu par la suite. De plus, la proposition P n est pas forcément connue. C...
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