Devoir Commun de TS Mathématiques

Pages: 5 (1075 mots) Publié le: 3 janvier 2015
TS Contrôle commun de Mathématiques 14/02/13
EXERCICE 1 (5 points)
Soit  f  la fonction définie pour par : .
1. a. Démontrer que, pour tout x > , .
b. On définit la suite (un) par :
 , pour tout entier naturel n.
Démontrer que pour tout entier naturel n, .
2. On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer un en fonction de n.
On considère les suites v = (vn) et w = (wn)telles que, pour tout entier naturel n,
et
(ln désigne le logarithme népérien).
a. Vérifier que pour tout entier naturel n, .
b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique.
c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et en déduire que :

En déduire la limite de la suite u.
EXERCICE 2 (5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repèreorthonormé direct (O ; ,) d’unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives , et .
1. Placer ces points sur un dessin. On complétera la figure dans la suite de l’exercice.
2. a. Vérifier que : .
b. En déduire la nature du triangle ABC.
c. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle .
3. a. Etablir quel’ensemble des points M d’affixe z qui vérifient : est un cercle de centre Ω d’affixe 2. Préciser son rayon. Construire .
b. Vérifier que les points A et B appartiennent à .
4. On appelle r la rotation de centre A et d’angle .
a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r ?
Construire l’image D du point C par la rotation r puis calculer son affixe.
b. Déterminer l’imagedu cercle par la rotation r.
5. Soit l’image du cercle par la rotation r.
a. Montrer que est un cercle de centre le point I d’affixe . Quel est son rayon ?
b. Construire le cercle. Montrer qu’il passe par les points A, C, D et O.
6. a. Calculer le nombre complexe  .
EXERCICE 3 (5 points)
On considère la fonction f définie sur  par f (x) = 1+ e−x − 2e−2x et  sa courbereprésentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal .
(unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées).
1. a. Soit le polynôme P défini sur  par P(X) = 1 + X − 2X2.
Étudier le signe de P(X).
b. En déduire le signe de f (x) sur .
c. Que peut-on en déduire pour la courbe  ?
2. Déterminer la limite de la fonction  f  en + . Qu’en déduire pour lacourbe  ?
3. Vérifier que f (x) = e−2x(e2x +ex −2), puis déterminer la limite de  f  en − ∞.
4. a. Soit f la fonction dérivée de la fonction  f ; calculer f (x).
b. Montrer que f (x) a le même signe que (4 − ex), puis étudier le signe de f (x).
c. Dresser le tableau de variations de  f. On montrera que le maximum est un nombre rationnel.
5. a. Démontrer que la courbe  et ladroite D d’équation y = 1 n’ont qu’un point d’intersection A dont on déterminera les coordonnées.
b. Étudier la position de la courbe  par rapport à la droite D.
6. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe  au point A.
7. Tracer les droites D et T, puis la courbe .
Nom :
Elèves n’ayant pas choisi la spécialité mathématique
EXERCICE 4 – QCM (5 points)
Pour chacune desquestions de ce QCM, une seule réponse est exacte. Pour répondre cocher à l’encre la réponse choisie. Toute rature entrainera l’annulation de la question correspondante.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.1. L’équation x2 + ex – 2e2 = 0 a le même ensemble de solutions que l’équation :
  □  ln(x2 + ex – 2e2) =1 □  ln(x – e) + ln(x + 2e) = ln(1)
□  ln(x2 + ex) = 2 + ln2 □  ln(x) + ln(x + e) = 2 + ln2
2. Soit z le nombre complexe. Alors le nombre complexe est égal à :
□   □  
□   □  
3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on donne les points A, B et C d’affixes...
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