devoir maison

Pages: 5 (1012 mots) Publié le: 26 avril 2014
Proportionnalité
I.Rappel
Il y a proportionnalité dans un tableau lorsque les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de
la première par un même nombre non nul.

2
3

3
4,5

5
7,5

8
12

× 1,5

1,5 dans ce tableau s'appelle le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la première à la seconde ligne.

On dit que les nombres de la secondeligne sont proportionnels à ceux de la première.
On dit aussi que les deux lignes sont proportionnelles.
remarque 1: Dans le tableau suivant, on ne passe pas de la première à la seconde ligne en multipliant par
un même nombre non nul: on passe de 2 à 4 en multipliant par 2 et de 20 à 30 en multipliant par 1,5. Ce
tableau n'est donc pas un tableau de proportionnalité.
2
4

II.

3
6

5
1020
30

Proportionnalité et graphique

Commentaire des programmes: les élèves peuvent démontrer que si les points sont alignés
avec l'origine, alors il y a proportionnalité entre les suites définies par les abscisses et les
ordonnées de ces points. La réciproque est admise.

Théorème: si les points obtenus à l'aide du tableau sont alignés avec
C
l'origine du repère, alors le tableauest tableau de proportionnalité.
6
Démonstration:
B
On se place dans un repère (O, I, J)
4,5
On considère deux points A (xA; yA) et B (xB; yB) alignés avec l'origine du repère et
A
de coordonnées positives.
3
On considère les points M (xA; 0) et N (xB; 0).
Les droites (AM) et (BN) sont parallèles.
On peut donc appliquer le théorème de proportionnalité dans le triangle dans OAM
1
etOBN.
OA OM MA
0
1 2 3 4
=
=
.
OB ON BN
En particulier,
x
y
OM MA
=
soit A = A.
ON BN
xB yB
Donc xA × yB = xB × yA
x
x
Donc A = B
yA yB
On note k ce rapport.
on a yA = k xA et yB = k xB
Les ordonnées des points sont donc bien proportionnelles aux abscisses (rapport de proportionnalité: k).

réciproque (admis): si le tableau est un tableau de proportionnalité , alors lespoints obtenus à
l'aide du tableau sont alignés avec l'origine du repère.
exemple 1:
3 4,5 6
2 3
4
=
= donc le tableau est un
2 3 4
3 4,5
6
tableau de proportionnalité. Le coefficient de
11
proportionnalité du tableau est 1,5.
C
9
Le graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Sur le graphique, si on augmente l'abscisse d'une unité, alors
B
7
on augmente l'ordonnée de1,5 unités.
A
5
On dit que 1,5 est le coefficient directeur de la droite.
Le coefficient directeur de la droite et le coefficient de
proportionnalité du tableau associé sont égaux.
1
0

1

4

6

8

D

10

exemple 2:

4 6 8 10
5 7 9 11

5 7

4 6
le graphique est une droite mais elle ne passe pas par l'origine du repère.

Le tableau n'est pas un tableau deproportionnalité:

exemple 3:
1 2 3 4
1 4 9 16 1 ≠ 4 donc le tableau n'est pas un tableau de
1 2
proportionnalité
Le graphique passe par l'origine du repère mais n'est pas une droite.

1)

C

9
B

4
1

III.

D

16

A
1

2

3

4

Applications de la proportionnalité
Déterminer un quatrième proportionnelle. dans le socle
a
c
b
d

bc
ad
ad
bc
b=
c=
d=
d
c
b
aEffectivement si ce tableau est un tableau de proportionnalité, alors son coefficient est b/a ou d/c.
c
Donc b = a × Donc b × d = a × c
d
Par le théorème du produit en croix du chapitre sur les égalités d'écritures fractionnaires, on a toutes les
relations cherchées.
2) Pourcentages dans le socle
Si ce tableau est un tableau de proportionnalité, alors a =

a) Calculer une grandeur donton connaît le pourcentage
Pour calculer p % d'une grandeur, on multiplie cette grandeur par

p
.
100

exemple 1:

calcul de la TVA estimée à 19,6 %
19,6
La taxe s'obtient en multipliant le prix hors taxe par 100 .
Calcul du prix TTC
19,6
PTTC = PHT + PHT × 100
PTTC

19,6
= PHT (1 + 100 )
19,6
Le prix TTC s'obtient en multipliant le prix hors taxe par (1 + 100 ).

b)...
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