Notion de dérivée - Applications

Interprétation cinématique de la dérivée.

† On lance un projectile se trouvant à 9 m de hauteur verticalement vers le haut avec une vitesse de 12 m/s.
Quelle est la hauteur atteinte par le projectile? Après combien de temps heurtera-t-il le sol?
† Un objet se déplace sur une droite. Sa position s (en mètres) par rapport à un point fixe O à un instant t (en secondes) égale sHtL = t3 - 3 t2 H0 § t § 5L
a) Analyser le mouvement lorsque t = 1,5 s.
b) Déterminer quand l’objet se rapproche du point O et quand il s’en éloigne.
c) Déterminer quand l’objet accélère et quand il décélère.
Problèmes d'optimisation
Quelques indications sur les démarches à effectuer...
- Rechercher et définir la ou les variables intervenant dans le problème
- Exprimer la quantité à optimiser comme fonction de la ou de ces variables
- Chercher la relation liant les variables
- Exprimer la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable
- Déterminer l'extrémum de la fonction à l'aide de sa dérivée
- Formuler la réponse

† Exemple 1
Un fermier dispose de 100 m de clôture pour délimiter un enclos de forme rectangulaire.
Quelles dimensions donner à ce rectangle pour qu'il ait une aire maximale?
Calculer cette aire maximale.

Soient x et y, les largeur et longeur du rectangle.
L'aire est alors donnée par la formule:
Aire = x . y
Calculons le périmètre: 2 x + 2 y = 100 et donc x + y = 50 y = 50 - x
L'aire peut alors s'exprimer comme fonction de x
Aire = f HxL = x H50 - xL = 50 x - x2
Etudions la dérivée de cette fonction f ' HxL = 50 - 2 x x 25
50 - 2 x + 0 -

On voit que l'aire est maximale pour x = 25 et donc y = 50 - 25 = 25.
Le rectangle qui a une aire maximale est donc le carré de 25 m de côté. l'aire maximale vaut 25 µ 25 = 625 m2

† Exercice
Quel est le rectangle d'aire maximale si le fermier adosse son enclos à un mur ? (voir dessin)

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Problèmes d'optimisation.nb

Exercice
Quel est le rectangle d'aire maximale si le fermier adosse son enclos à un mur