diagonalisation algèbre 2...étudiant en science économique et gestion en S4 au Maroc

Pages: 14 (3422 mots) Publié le: 26 août 2014
Diagonalisation des matrices
http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html

Sous-sections







Matrices diagonales
Valeurs propres et vecteurs propres
Polynôme caractéristique
Exemples
Illustration par MuPad
QCM corrigé

Matrices diagonales
Nous nous plaçons dans
ou
, avec
. Les éléments de ou
sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont desmatrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés
à des matrices à lignes et colonne.
Une matrice
est diagonale si tous ses coefficients en
dehors de la diagonale sont nuls.

Elle est donc de la forme :

Pour comprendre le rôle des coefficients diagonaux, supposons tout
d'abord qu'ils sont tous égaux à . Dans ce cas, est proportionnelle

à la matrice identité :
.Pour tout vecteur de
, la vecteur
est proportionnel à
:
. Multiplier le vecteur par la
matrice revient à le multiplier par le facteur . Géométriquement,
c'est effectuer une homothétie de rapport . Supposons maintenant
que les coefficients diagonaux soient quelconques. Considérons une
base
matrice

de
, et examinons l'endomorphisme de
, de
dans cette base. Dire que est diagonale, c'estdire que

l'image du vecteur
,

de la base est

est une homothétie de rapport

vecteur quelconque de

,

s'écrit

. Si on restreint

à la direction

(voir figure ci-après). Si
. Son image par

est un

est :

Endomorphisme du plan, de matrice diagonale. Les coefficients
diagonaux sont 2 et -1.
Les matrices diagonales sont particulièrement simples à manipuler.
Voici lespropriétés principales :
Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des
coefficients diagonaux.

Multiplier à gauche par une matrice diagonale revient à multiplier la
-ième ligne par

: si

est une matrice quelconque, alors

Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier la
ième colonne par

: si

-

est une matrice quelconque, alors

Le produitde deux matrices diagonales est une matrice diagonale.

Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls, la matrice est
inversible :

La puissance

-ième d'une matrice diagonale est :

Voici deux systèmes linéaires d'équations.

Voici deux systèmes linéaires d'équations de récurrence.

Voici deux systèmes linéaires d'équations différentielles.

Les trois problèmes, de natures trèsdifférentes, ont en commun leur
écriture matricielle, avec les deux matrices suivantes.

Tous les problèmes linéaires sont plus faciles à résoudre quand la
matrice est diagonale !
Il se trouve que les deux matrices et sont semblables, c'est à dire
qu'elles représentent le même endomorphisme dans deux bases
différentes, ou encore, il existe une matrice de passage telle que
.

Définition12.1.1 Une matrice est dite diagonalisable si elle est
semblable à une matrice diagonale.
L'objectif de ce chapitre est d'apprendre à diagonaliser une matrice,
quand c'est possible.

Définition 12.1.2 Diagonaliser une matrice , c'est trouver une
matrice de passage et une matrice diagonale telles que :
Pour illustrer l'intérêt de la diagonalisation, prenons l'exemple d'un
systèmed'équations de récurrence linéaire, du type

, où

désigne un vecteur dont on souhaite connaître l'expression en
fonction de . Du point de vue théorique, il n'y a pas de problème :
Mais cela n'avance à rien si on ne sait pas calculer formellement
en fonction de . C'est possible si est
l'expression de
diagonalisable. En effet, si
:
Ecrire
donc de

est immédiat. On en déduit l'expressiongénérale de

,

. Dans l'exemple ci-dessus, on trouve :

Nous étudierons une méthode analogue pour la résolution des
systèmes linéaires d'équations différentielles au chapitre Equations
différentielles.
Les problèmes linéaires que l'on rencontre en pratique sont souvent
de très grandes dimensions (parfois des milliers). Nous nous
limiterons dans nos calculs aux dimensions et . Le calcul...
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