diagonalisation algèbre 2...étudiant en science économique et gestion en S4 au Maroc

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Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections







Matrices diagonales
Valeurs propres et vecteurs propres
Polynôme caractéristique
Exemples
Illustration par MuPad
QCM corrigé

Matrices diagonales
Nous nous plaçons dans ou , avec
. Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne.
Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

Elle est donc de la forme :

Pour comprendre le rôle des coefficients diagonaux, supposons tout d'abord qu'ils sont tous égaux à . Dans ce cas, est proportionnelle

à la matrice identité :
. Pour tout vecteur de
, la vecteur est proportionnel à
:
. Multiplier le vecteur par la matrice revient à le multiplier par le facteur . Géométriquement, c'est effectuer une homothétie de rapport . Supposons maintenant que les coefficients diagonaux soient quelconques. Considérons une base matrice

de
, et examinons l'endomorphisme de
, de dans cette base. Dire que est diagonale, c'est dire que

l'image du vecteur
,

de la base est

est une homothétie de rapport

vecteur quelconque de

,

s'écrit

. Si on restreint

à la direction

(voir figure ci-après). Si
. Son image par

est un

est :

Endomorphisme du plan, de matrice diagonale. Les coefficients diagonaux sont 2 et -1.
Les matrices diagonales sont particulièrement simples à manipuler.
Voici les propriétés principales :
Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des coefficients diagonaux.

Multiplier à gauche par une matrice diagonale revient à multiplier la
-ième ligne par

: si

est une matrice quelconque, alors

Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier la ième colonne par

: si

-

est une matrice quelconque, alors

Le produit

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