Diff´rences finies et analyse num´rique matricielle : e e cours d’harmonisation en IMAFA
Nicolas Champagnat 15 octobre 2010

Table des mati`res e
1 Introduction 1.1 EDP : exemples et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Quelques exemples d’EDP . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Classification des EDP . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 A propos des m´thodes de discr´tisation d’EDP . e e 1.2 Analyse num´rique matricielle : motivations et rappels e 1.2.1 Motivation et classification des m´thodes . . . . e 1.2.2 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 7 7 8

2 Approximation de la solution de l’´quation de la chaleur en e dimension 1 par diff´rences finies e 2.1 Principe de la m´thode : le probl`me aux limites d’ordre 2 en e e dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Approximations des d´riv´es d’une fonction r´guli`re . e e e e 2.1.2 Approximation de (1) par diff´rences finies . . . . . . e 2.1.3 Convergence de la m´thode . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 L’´quation de la chaleur en dimension 1 : les sch´mas implie e cites et explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Le maillage, les conditions initiales et les conditions au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Le sch´ma explicite, ` trois points pour la d´riv´e see a e e conde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Le sc´ma implicite, ` trois points pour la d´riv´e seconde e a e e 2.2.4 Un autre sch´ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3 Consistence, stabilit´ et convergence . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Stabilit´ et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.3 Stabilit´ en norme · h . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Quelques prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Cas des conditions au bord non nulles . . . . . . . . . 1