Vecteurs du plan et de l'espace
Utiliser les vecteurs pour démontrer que des points sont alignés ou coplanaires, que des droites sont parallèles, etc...

A. Rappels
1. Vecteurs égaux
Un vecteur est défini par une longueur, une direction et un sens. Soient A, A', B et B' quatre points de l'espace.   signifie que AA'B'B est un parallélogramme (éventuellement aplati). AA'= BB' A' Les vecteurs  et  ont même longueur, même direction et AA' BB' même sens. A Remarques : Les 4 points sont coplanaires. B' L'égalité   est équivalente à   ,   et AA'= BB' A'A= B'B AB=A'B'  . BA= B'A' B Le vecteur  est appelé vecteur nul, on note  0 . AA AA=

2. Addition de deux vecteurs
   v Quels que soient les vecteurs u et v on peut définir un vecteur noté u  en utilisant la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme.

a) Relation de Chasles B Quels que soient les points A, B et C ,    . AB BC=AC C A b) Règle du parallélogramme B D Soient A, B, C et D 4 points.    signifie que ABDC est un parallélogramme. ABAC=AD

C c) Vecteurs opposés
 u Tout vecteur u a un opposé noté − tel que u −u =0 .    u et − ont même direction et même longueur, mais des sens opposés.  u Quels que soient les points A et B :   . BA=−AB

A

d) Propriétés de l'addition
• •

  w Quels que soient les vecteurs u , v et  : u  v (commutativité)  v=  u u  v =  (associativité)   w u v w

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e) Soustraction Pour soustraire un vecteur, il suffit d'ajouter son opposé. v    v= Quels que soient les vecteurs u et v , u − u −  .

3. Multiplication d'un vecteur par un réel
a) Définition
  Soient u un vecteur et k un réel. On définit le vecteur k u de la façon suivante :  • sa longueur est celle de u multipliée par |k|.  • il a la même direction que u .  • si k > 0, il a le même sens que u , si k < 0 il a le sens opposé.

Exemple A, B, C, D, E et F sont alignés et régulièrement espacés dans cet ordre. A B C D E F