SECOND DEGRE (Partie 1)

I. Fonction polynôme de degré 2

Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec . Remarque :
Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples :
- ,
- ,
-
- sont des fonctions polynômes de degré 2.

- est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine).

- est une fonction polynôme de degré 4.

II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

Soit la fonction f définie sur ℝ par : .

On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : (x - )2 +  où ,  et  sont des nombres réels.

est la forme canonique de f.

Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par peut s'écrire sous la forme : , où et sont deux nombres réels.
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.

Démonstration :

Comme 0, on peut écrire pour tout réel x :

avec et .

III. Variations et représentation graphique

Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par :
Alors : car est positif.
Or donc pour tout x, . f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.

Propriété :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par , avec .
- Si , f admet un minimum pour . Ce minimum est égal à .
- Si , f admet un maximum pour . Ce minimum est égal à .

Remarque :
Soit la fonction f définie sur ℝ par : , avec 0.
On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour .
(voir résultat de la démonstration dans II.)

Si :

x f

Si :

x f

Dans un repère orthogonal, la