dissertation

Pages: 48 (11990 mots) Publié le: 14 novembre 2014
Séquence 1
Les suites numériques
Sommaire
1. Pré-requis
2. Le raisonnement par récurrence
3. Notions de limites
4. Synthèse

Dans cette séquence, il s’agit d’une part
d’approfondir la notion de suites numériques
permettant la modélisation d’un certain
nombre de phénomènes discrets et d’autre
part, à travers l’étude des limites de suites,
de préparer la présentation des limites defonctions.

Séquence 1 – MA02

1

© Cned - Académie en ligne

1 Pré-requis
A

Généralités sur les suites
1. Généralités
a) Définition et notations
Définition

On appelle suite numérique toute fonction numérique définie sur
sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 .

a

 Notations

» ou

La suite est notée respectivement (un )n ∈» ou (un )n ≥ n ouplus simplement (un ).
0
Le terme de rang n est noté un .

b) Vocabulaire
Définition

Soit (un ) une suite définie sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 .
On dit que :
z la suite (un ) est croissante si pour tout n ≥ n0 , un +1 ≥ un ;
z la suite (un ) est strictement croissante si pour tout n ≥ n0 , un +1 > un ;
z la suite (un ) est décroissante si pourtout n ≥ n0 , un +1 ≤ un ;
z la suite (un ) est strictement décroissante si pour tout n ≥ n0 , un +1 < un ;
z la suite (un ) est constante si pour tout n ≥ n0 , un +1 = un ;
z si une suite est croissante ou décroissante, on dit qu’elle est monotone.

Séquence 1 – MA02

3

© Cned - Académie en ligne

Définition

Soit (un ) une suite définie pour n ≥ n0 . On dit que :
z la suite (un ) estmajorée s’il existe un réel M tel que pour tout n ≥ n0 , un ≤ M  ;
zla suite (un ) est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n ≥ n0 , un ≥ m  ;
z la suite (un ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

c) Propriétés
Propriété

Propriété

Soit (un ) une suite définie pour n ≥ n0 .
z Si (un ) est croissante alors pour

Soit (un ) une suite définie pour n ≥ n0
parun = f (un ) où f est une fonction

tout n ≥ p ≥ n0 on a un ≥ u p .
z Si (un ) est décroissante alors pour
tout n ≥ p ≥ n0 on a un ≤ u p .

définie sur n0 ; +∞   .
z Si f est croissante sur n0 ; +∞  
alors (un ) est croissante.
z Si f est décroissante sur n0 ; +∞  alors
(un ) est décroissante.
La réciproque de ces résultats est fausse.

2. Suites arithmétiques
DéfinitionRelation de récurrence

( )

La suite un
est dite arithmétique s’il existe r ∈» tel que pour
n ≥ n0
tout n ≥ n0 , un +1 = un + r .
Le réel r ainsi défini est appelé raison de la suite arithmétique (un ).

Propriété

Si

(un )n ≥n0

Expression de un
en fonction de n

est arithmétique de raison r

alors pour tout n ≥ n0 et pour tout p ≥ n0 ,
on a un = u p + (n − p ) × r .

4© Cned - Académie en ligne

Séquence 1 – MA02

Propriété Variations

Une suite arithmétique de raison r
est strictement croissante si r > 0,
strictement décroissante si r < 0 et
constante si r = 0.

Propriété

Somme de termes

( )

Si un
est arithmétique alors pour tout p ≥ n0 et pour tout n ≥ p ,
n ≥ n0
n

∑ uk = u p + u p +1 + ... + un = (n − p + 1) ×

k =p

uP + un2

= nombre de termes × moyenne
des termes extrêmes.
n

∑ k = 1+ 2 + ... + n =

En particulier :

k =1

n (n + 1)
.
2

3. Suites géométriques
Définition Relation de récurrence

( )

La suite un
est dite géométrique s’il existe q ∈» tel que pour
n ≥ n0
tout n ≥ n0 , un +1 = un × q .
Propriété
Expression de un en fonction
de n

(un )n ≥n0 est

Si

Propriété

Lasuite

Variations

(q )
n

n ≥ n0

est

strictement

croissante

si q > 1 , strictement décroissante si 0 < q < 1 et

géométrique de

constante si q = 1 ou si q = 0. Lorsque q < 0, la suite

raison q ≠ 0 alors pour tout n ≥ n0

est alternée (elle n’est donc pas monotone).

et pour tout p ≥ n0 , on a

un = u p × q n − p .

Propriété

Somme de termes

( )

Si un...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Dissertation
  • Dissertation
  • Dissertation
  • dissertation
  • dissertation
  • dissertation
  • Dissertations
  • dissertation

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !