TS

ROC

Année 2014/2015

Commentaires :
- Les ROC marquées d’un  font partie des capacités attendues et sont donc exigibles.
- Les ROC marquées  sont difficiles.
- Lorsqu’une ROC est accompagnée de questions, il faut se laisser guider par ces questions.
- Lorsqu’une ROC est déjà tombée au bac, ceci est indiqué

I SUITES
ROC 1  (au programme)
Théorème
Soit u n  et v n  deux suites telles que u n  v n à partir d’un certain rang
 Si n lim u n   alors n lim v n  .
 Si n lim v n   alors n lim u n  .

Prérequis
Soit u n  une suite
On dit que la suite u n  tend vers  lorsque tout intervalle de la forme A;  contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Question
Soit u n  et v n  deux suites telles que u n  v n à partir d’un certain rang et n lim u n  . Démontrer que n lim v n  .

Solution
Soit I un intervalle de la forme A ;   .
Comme n lim u n   alors, par définition, I contient tous les termes de la suite u n  à partir d’un certain rang n 1 . De plus u n  v n à partir d’un certain rang n 2 . Posons n 0  max n 1 ; n 2 alors pour tout entier naturel n  n 0 , on a u n  I c’est à dire A  u n et u n  v n donc A  v n . Donc l’intervalle I contient tous les termes de la suite v n  à partir d’un certain rang n 0 donc n lim v n  .

ROC 2 (au programme)
Théorème
Si la suite u n  est croissante et converge vers un réel L alors, pour tout entier naturel n, u n  L.

Prérequis
Soit u n  une suite
On dit que la suite u n  converge vers un réel L lorsque tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Question
Soit u n  une suite croissante qui converge vers un réel L. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n  L.

Solution
On raisonne par l’absurde. On suppose qu’il existe un entier naturel n 0 tel que u n 0  L. Comme la suite u n  est croissante alors, pour tout entier naturel n  n 0 , on a u n  u n 0 ce qui