Dm de maths
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maths On suppose le nombre rationnel, c'est à dire qu'il s'écrit sous la forme irréductible .1) Elevons cette égalité au carré : . On obtient alors : .
http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$%20\blue%20\fbox{\fbox{\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\rm%20{Dernier%20chiffre%20de%20p}&\rm%20{Dernier%20chiffre%20de%20p^2}&\rm%20{Dernier%20chiffre%20de%20q}&\rm%20{Dernier%20chiffre%20de%202q^2}\\%200&0&0&0\\%201&1&1&2\\%202&4&2&8\\%203&9&3&8\\%204&6&4&2\\%205&5&5&0\\%206&6&6&2\\%207&9&7&8\\%208&4&8&8\\%209&1&9&2\\\end{tabular}}}
3) En se référant au tableau ci-dessus, on constate que l'égalité est vérifiée uniquement si les nombres et se terminent par le chiffre .
Or dans ce cas la fraction n'est pas irréductible, on en 1) p/q = implique p²/q²=2, et donc p²=2q².
2) Propriété : le chiffre des unités d'un carré ne peut être que l'un de cette liste :
0 ou 1 ou 4 ou 5 ou 6 ou 9 (et jamais 2, 3, 7 ni 8).
Il suffit de réfléchir à la multiplication des entiers pour s'en convaincre : si p se termine par 0,alors p² se termine aussi par 0, etc.
Envisager tous les cas sur la copie.
2) a) je viens de répondre.
2) b) Avec ce qui précède, le chiffre des unités de 2q² est nécessairement dans cette liste : 0 ou 2 ou 8.
Il suffit de multiplier par 2 dans la Propriété ci-dessus.
3) a) On suppose que p²=2q².
Alors la seule possibilité commune pour le chiffre des unités de p² et de 2q² est 0.
3) b) p² se termine par 0 si et seulement si p se termine par 0 lui-aussi (d'après l'étude de tous les cas de figure, question 1) a)).
2q² se termine par 0 si et seulement si le chiffre des unités de q est 0 ou 5 (même chose, question 1) b)).
En conclusion, deux cas peuvent survenir :
i) p et q ont 0 pour chiffre des unités ; dans ce cas, la fraction p/q n'est pas irréducible, puisqu'à l'évidence on peut la simplifier (par combien