CORRECTION DS Nº52

EX 1 ˆ On sait BA . BC = BA × BC × cos( ABC ) −1 −4 Or avec les coordonnées: BA et BC donc BA . BC = 2 et BA = 2 et BC = 20 = 2 5 −1 2 ˆ On en déduit cos( ABC ) = 2 2 10 = 10 ˆ puis avec la calculatrice : ABC ≈ 72º 10

EX 2 1) Soit M’ le projeté orthogonal de M sur (IJ). Alors IJ . IM = IJ . IM ' = −15 On en déduit que IJ et IM ' sont de sens opposés, donc IJ . IM ' = − IJ × IM = −5 × IM On a donc IM’= 3 sachant que M’ est « à gauche de I » L’ensemble des points M est donc la droite perpendiculaire à (IJ) passant par M’. 2) MI . MJ = ( MA + AI ). ( MA + AJ ) = MA 2 + AI . AJ = MA 2 − AI × AJ (car AI et AJ col de sens opposés) Ainsi M est tel que MA 2 − 2,5 2 = 6 i.e MA = 3,5 donc M est sur le cercle de centre A et de rayon 3,5.

EX 3 1) ABCD losange donc AB + AD = AC et avec la définition 1 du produit scalaire : 2 2 2 1 1 AB . AD = ( AC − AB − AD ) = (10 2 − 2 × 34) = 16 ( 34 avec pythagore…) 2 2 2) P étant le projeté orthogonal de D sur la droite (AB), AB . AD = AB . AP . 16 AB et AP étant col de même sens AB . AP = AB × AP = 34 AP donc AP = 34 EX 4
1) L’aire du rectangle est xy donc y = 392 . x 392 2 x 2 + 392 = x x

2) La longueur est 2 x + y donc l ( x) = 2 x + 3) l ' ( x) = x(4 x) − (2 x 2 + 392) 2 x 2 − 392 = x2 x2

Le signe est celui du numérateur et on obtient une fonction décroissante sur ]0 ;14] puis croissante sur ]14 ; + ∞[ avec un min en 14. 4) La longueur est donc minimale quand l atteint son min i.e quand x = 14 et on déduit y = 28 .