Classe de Seconde

Corrigé : Construction d'un pentagone régulier (Exercice)

2007/2008

Partie I : ABC est un triangle isocèle en A,  = 36° et BC = 4 cm. La bissectrice de  BAC ABC  coupe [BC] en E. coupe [AC] en D et celle de BDC

2) a) On sait que  = 36°. BAC Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180° D'où :  +  = 180° - 36° = 144° ABC ACB Or, ABC est isocèle en A, d'où :  =  ABC ACB ° 144 Alors :  = = 72° =  ABC ACB 2 D'autre part, [BD) est la bissectrice de l'angle  ABC Définition de la bissectrice d'un angle : La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. 72 D'où :  = = 36° ABD 2 Dans le triangle ABD,  = 36° =  BAD ABD Propriété : Un triangle ayant deux angles égaux est isocèle Par conséquent : le triangle ABD est isocèle en D 72 Comme [BD) est la bissectrice de l'angle  ,  = = 36° ABC DBC 2 Comme ABC est isocèle en A,  = 72° =  ACB DCB Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180° Dans le triangle DBC,  = 180° - (72° + 36°) BDC = 180° - 108° = 72° Le triangle DBC ayant deux angles égaux est isocèle en B De la même façon, on démontre que : EDC est isocèle en D

et BED est isocèle en E b) Les deux droites (AB) et (DE) sont coupées par la sécante (BD) Les angles  et  sont alternes-internes. Or,  = 36° et  = 36° BDE BDE DBA DBA Propriété : Si deux droites sont coupées par une sécante formant deux angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles. Par conséquent : (DE) // (AB) 3) AB = AC = x a) Comme BDC isocèle en B, alors BC = BD, d'où : BD = 4 cm Comme ADB est isocèle en D, alors BD = AD, d'où AD = 4 cm Or, AC = x , DC = AC – AD c'est-à-dire : DC = x - 4 Comme DEC est isocèle en D, DE = DC c'est-à-dire : DE = x – 4 BED est isocèle en E, BE = ED BE = x – 4 BC = 4 BE + EC = BC D'où : x – 4 + EC = 4 Donc : EC = 4+4 – x = 8 - x b) On se place dans le triangle ABC : Comme (ED) // (AB), on peut appliquer le