Fiche méthode : méthode par identification des coefficients

Niveau : première

F. Demoulin

1 Objectifs
Cette méthode est utilisée pour factoriser un polynôme ou pour décomposer en éléments simples une fraction rationnelle. On la rencontre dans des questions du type : « Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, f (x) = . . . ».

2 Rappels de cours
Dans ce paragraphe, P et Q sont deux polynômes définis sur un même domaine D.
£

Définition 2.1 On dit que P et Q sont identiquement égaux si, pour tout x de D :
P (x) = Q(x)

¢

¡

Exemple. Les polynômes f et g définis sur R respectivement par f (x) = x 2 −1 et g (x) = (x −1)(x +1) sont identiquement égaux.
£
¢

Propriété 2.1 Deux polynômes P et Q sont identiquement égaux si, et seulement si, les polynômes ont même degré et les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.

Exemple. Cas du second degré :

pour tout x de R,

ax 2 + bx + c = a ′ x 2 + b ′ x + c ′ ⇐⇒



′


a = a
′

b=b



 c = c′

3 Exemples
3.1 Factorisation d’un polynôme
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − 2x 2 + 3x − 2.
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x − 1)(ax 2 + bx + c).
Réponse : pour tout x de R : f (x) = (x − 1)(ax 2 + bx + c)
⇐⇒
On identifie les coefficients des termes de même degré.

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx − ax 2 − bx − c

⇐⇒ x 3 − 2x 2 + 3x − 2



a





b−a
⇐⇒


 c −b




−c




a
⇐⇒

= ax 3 + (b − a)x 2 + (c − b)x − c
=1
= −2
=3
= −2
=1

b = −1



 c =2

Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x − 1)(x 2 − x + 2).

1

¡

Niveau : première

Fiche méthode : méthode par identification des coefficients

F. Demoulin

3.2 Décomposition d’une fraction rationnelle
2x 2 + 7x + 8
.
x +2
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R − {−2}, on ait : f (x) = ax + b +
Soit f la fonction définie sur R − {−2} par f (x) =

Réponse : pour tout x de R − {−2} : c x +2
(ax + b)(x + 2) + c f (x) = x +2
2x 2 + 7x + 8 ax 2 +