DNS 1 : MATHEMATIQUES

EXERCICE 1
Dans tout l’exercice, on arrondira, si nécessaire, les résultats à l’euro près.
En janvier 2000, M. Dupond a créé une petite entreprise qui fabrique des ordinateurs hauts de gamme. Pour des raisons de matériel et de personnel, l’entreprise ne peut pas fabriquer plus de 35 ordinateurs par mois.
On suppose que l’entreprise parvient à vendre toute sa production, quel que soit le nombre d’ordinateurs fabriqués.
Soit r, la recette, en dizaine d’euros, engendrée par la vente de x ordinateurs, on admettra que : r(x) = 35x
Soit C, le coût de production, en dizaine d’euros, défini sur [0 ;35] par : c(x) = x² + 5x + 125
1. Montrer que la fonction B donnant le bénéfice en fonction du nombre x d’ordinateurs produits et vendus, est définie, pour x dans l’intervalle [0 ; 35] par :
B(x) = - x² + 30x -125
2.
a. Calculer B ‘ (x), où B ‘ est la fonction dérivée de la fonction B.
b. Etudier le signe de B ‘ (x) sur l’intervalle [0 ; 35] puis construire le tableau de variations complet de la fonction B.
c. Pour quelle quantité produite l’entreprise de M. Dupont réalisera-t-elle le bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?

EXERCICE 2
On considère la fonction f, définie sur [0 ; 4] par f(x) =

−x3 +6x²
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On note 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormal (
O ;⃗𝑖 ; 𝑗)
1/

Vérifier que les points O et A sont bien dans la courbe 𝐶𝑓 .

2/ a) Déterminer f ‘(x).
b) Etudier le signe de f ‘(x) sur [0 ; 4] puis dresser le tableau de variations de la fonction f.
c) Précisez pourquoi les tangentes à la courbe 𝐶𝑓 aux points O et A sont parallèles à l’axe des abscisses.
3/

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe 𝐶𝑓 au point I d’abscisse 2.