DS Etude de fonctions et sutes r´currentes (Extrais de concours) e

Questions de cours • Donner la formule du binˆme de Newton pour les applications lin´aires o e • Soit u ∈ L(E, F ), soit (e1 , e2 , ..., en ) une famille g´n´ratrice de E. e e Monter que la famille (u(e1 ), u(e2 ), ..., u(en )) est g´n´ratrice de Im(u). e e A quelle condition la famille (u(e1 ), u(e2 ), ..., u(en )) engendre F. ?

Exercice 1 (ECRICOME 1995) Pour x ∈ R, on pose : f (x) = x3 + 5x − 1 1. Etudier les variations de f sur R. 2. Montrer que l’quation x3 + 5x − 1 = 0 admet une unique solution α dans R. 1 3. Etablir que 0 < α < . 2 ( ) 1 Exercice 2 (EDHEC 2004) On note f la fonction d´finie sur R+ par : f (x) = x exp − e x si x > 0 et f (0) = 0. 1. (a) Montrer que f est continue en 0. (b) Montrer que f est d´rivable en 0 et donner la valeur de f ′ (0). e 2. (a) Montrer que f est d´rivable sur ]0, +∞[. e Pour tout r´el x non nul, calculer f ′ (x) puis ´tudier son signe. e e (b) Calculer la limite de f en +∞. Exercice 3 (EML 1997) 1. On consid`re la fonction g d´finie sur R par g : x → e e 1+x −x. 1 + ex

h(x) . (1 + ex )2 (b) Aprs avoir crit g(x) sous la forme d’un quotient, dterminer les asymptotes en −∞ et +∞ de la courbe reprsentative de g. (a) Justifier que g est drivable sur R et expliciter sa drive sous la forme g ′ (x) = 2. Montrer que l’quation cette solution. 1+x = x admet une solution et une seule sur R+ .On note x0 1 + ex

3. Justifier que 0 < x0 < 1. 1

Exercice 4 Montrer que la suite (un ) d´finie par son premier terme u0 > 0 et la relation de r´currence e e 1 un+1 = un + un ne converge pas Exercice5 Extrait d’Ecricome :Soient a un r´el, f :−→ l’application d´finie par f (x) = eax et (un )n∈ , la suite d´finie par u0 = 0 e e e et, pour tout n un+1 = f (un ) 1. Etudier les variations de la fonction x −→ selon la valeur de a 2. on suppose que a ≥ 0 (a) Montrer que la suite (un )n∈ est croissante (b) Montrer que si a ≥ 1 , la suite (un )n∈ diverge vers +∞ e (c) On suppose que 0