Démonstration de la transcendance de e :

A 1 plan de la démonstration

Définition 1 On définit les expressions « nombre algébrique », entier algébrique, polynôme normalisé, polynôme canonoque et nombre transcendant ainsi :

un nombre complexe est dit algébrique s'il existe un polynôme P(x) non constant à coefficients entiers (c'est à dire dont les coefficients appartiennent à et tel que si de plus le polynôme P(x) peut être choisi « normalisé », c'est à dire tel que le coefficient de son terme de plus haut degré soit 1, on dit que est un entier algébrique un nombre qui n'est pas algébrique est dit transcendant un polynôme qui est à la fois à coefficients entiers et normalisé est dit canonique

Description de la méthode :

Dans les deux démonstrations, nous allons construire une égalité particulière E = F à partir de la conjecture que ce nombre est algébrique.

Cette égalité dépend d'un entier premier p, qui peut être choisi aussi grand que l'on veut. Puis on prouve d'une part que le membre de gauche E est un entier non nul dès que p est assez grand partir de l’hypothese que ce nombre est algebrique. Cette egalite depend d’un entier premier p, qu’on peut choisir aussi grand qu’on veut. Puis, on prouve d’une part que le membre de gauche E est un entier non nul des que p est assez grand, et d’autre part que le membre de droite F tend vers 0 quand p tend vers l’infini. On a bien sur une contradiction, ce qui prouve la transcendance de notre nombre.

L’égalité E = F est construite a partir du polynôme P(x) dont l’existence résulte de l’hypothèse que e ou est algèbrique. Pour montrer que le membre de gauche E de notre égalité est entier, on manipule des dérivées de polynômes.

Dans le cas de e, on utilise surtout le fait que quand on dérive un monôme de la forme avec a entier, on récupère le monôme dont le coefficient est toujours entier et de plus divisible par n. Dans le cas de , il faut aussi utiliser les propriétès des polynômes