DEA MSOE : Examen TC « Eléments finis Partie I »
1 Décembre 2003
Sujet : Ecoulement stationnaire dans un milieu poreux
Une digue en terre est représentée sur la figure 1. Le milieu poreux constituant la digue est supposé indéformable et hétérogène en perméabilité. On propose d’étudier l’écoulement stationnaire entre les réservoirs amont et aval de la digue et de calculer la charge hydraulique u : u= p
+y
ρg

(1)

où p est la pression d’eau et ρ la masse volumique de l’eau.
€

Figure 1 : Ecoulement stationnaire dans une digue en terre.
Ce problème peut être défini par les équations suivantes:
Comportement ( Loi de Darcy) :
La loi de Darcy exprime que la vitesse d’écoulement v = (vx,vy) est proportionnelle au gradient de u : v = - (R/ρ).gradu

(2)

rxx 0  où R = 
 est un tenseur d’ordre 2 qui dépend de la perméabilité du milieu poreux et
 0 ryy  de la viscosité de l’eau.
Conservation de la masse d’eau:

€

En supposant l’écoulement stationnaire et l’eau incompressible, on écrit : div(ρv) = f
(3)
où f représente les sources volumiques qui sont très souvent égales à 0. Ici, on prend f = 0.
On appelle Ω la partie de la digue située sous la surface libre Γ3, en résumant les équations (1) à (3), on obtient la formulation forte du problème : div(R.gradu) + f = 0 dans Ω
1

(4)

Conditions aux limites:
Sur la frontière Γ1, au contact avec les réservoirs, l’écoulement étant négligeable dans ceux-ci, la pression par continuité est connue: p = ρg(H1 - y) sur Γ1 amont, où H1 est la hauteur d’eau dans le réservoir amont. p = ρg(H2 - y) sur Γ1 aval, où H2 est la hauteur d’eau dans le réservoir aval. ce qui nous donne une condition sur la charge hydraulique : u = H1 sur Γ1 amont et u = H2 sur Γ1 aval

(5)

Sur Γ2, on suppose qu’à travers le substratum rocheux, on a un débit surfacique donné dû à des apports d’eau par l’extérieur :
v.n = -s/ρ sur Γ2

(6)

Sur Γ3, pour éviter les difficultés posées par la