1. Généralités.

1.1. Equation à deux inconnues du premier degré
Définition: Soient a, b et c trois nombres réels donnés. Une équation du type , ou s'y ramenant, est une équation à deux inconnues du premier degré

Exemple: est une équation à deux inconnues du premier degré.

Définition: On appelle solution d'une équation à deux inconnues du premier degré du type tout couple (x;y) tel que l'égalité soit vraie.

Exemple: n'est pas un couple solution de, car .

Par contre, le couple est solution de , car .

1.2. Système de deux équations à deux inconnues du premier degré.
Définition: On appelle système de deux équations à deux inconnues du premier degré la donnée simultanée de deux équations à deux inconnues du premier degré.

Exemple : est un système de deux équations à deux inconnues du premier degré.

Définition: Résoudre un tel système, c’est trouver tous les couples, si ils existent pour lesquels les deux égalités soient vraies simultanément.

Nota Bene: En classe de troisième, on supposera systématiquement que les systèmes résolus sont des « bons systèmes » admettant toujours une unique solution.

Méthode de résolution :

Le principe général est d’éliminer une inconnue pour se ramener à la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue.

On distingue deux méthodes par le calcul et une graphique.

2. Résolution par substitution.

Principe : On exprime une des deux inconnues en fonction de l’autre à l’aide d’une des équations, et l’on substitue le résultat obtenu dans l’équation restante.

Exemple : .

Dans la première équation : y = 2x – 1.

Puis en substituant y dans la deuxième équation :

d’où, en reportant la valeur dans la première équation :

Si un couple (x;y) est solution alors x=5 et y=9

Réciproquement su x=5 et y=9, alors:

et .

Le système a pour unique solution le couple (5 ; 9).

Avantage de cette méthode :

Elle permet un calcul rapide lorsque