Équations et inéquations
Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole le terme inconnu dans un membre. On s'intéresse à présent à la résolution conjointe de deux équations ou de deux inéquations. Cette situation se retrouve lorsque l'on cherche à résoudre un système d'équations ou d'inéquations, une équation ou une inéquation produit.
Après avoir étudié les fonctions linéaires et affines au collège, on aborde en seconde les fonctions polynômes du second degré et les fonctions homographiques. De nouveaux types d'équations et inéquations apparaissent, comportant l'inconnue au carré ou au dénominateur.
1. Comment résoudre un système d'inéquations du premier degré à une inconnue ?
Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient ainsi deux intervalles de solutions. On cherche ensuite la partie commune aux deux intervalles ; si elle existe, c'est la solution du système.
Exemple
On veut résoudre le système : [pic].
Ce système est équivalent à : [pic].
L'ensemble des solutions du système est donc l'intersection de deux intervalles :
[pic]. D'où : [pic]. (Il peut être utile de dessiner les intervalles pour déterminer l'intersection.)
Exercice n°1
2. Comment résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues ?
Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.
• Si l'une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou −1, il est préférable d'utiliser la méthode par substitution.
Dans l'une des équations, on écrit l'inconnue dont le coefficient est 1 ou −1 en fonction de l'autre, puis on substitue cette écriture à l'inconnue de la seconde équation.
Exemple
Dans le système [pic], on exprime x en fonction de y dans la première équation et on obtient le système équivalent : [pic].
On remplace ensuite x par [pic]dans la seconde équation, ce qui donne le système :
[pic]qui équivaut à [pic], soit encore à [pic].
On obtient