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Equations différentielles linéaires linéaires

5485 mots 22 pages
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Equations différentielles d’ordre 2 à coefficients constants Pascal Lainé 1 Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
Exercice 1.
Résoudre
𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑥2 − 6𝑥 + 4 (𝐸)
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2.
Résoudre
𝑦′′ − 3𝑦′ = 2 (𝐸)
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3.
Résoudre
𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−𝑥 (𝐸) …afficher plus de contenu…

𝜑𝑃
′ (𝑥) = 𝐴 cos(𝑥) − (𝐴𝑥 + 𝐵) sin(𝑥) + 𝐶 sin(𝑥) + (𝐶𝑥 + 𝐷) cos(𝑥)
= (𝐶𝑥 + 𝐷 + 𝐴) cos(𝑥) + (−𝐴𝑥 − 𝐵 + 𝐶) sin(𝑥)
𝜑𝑃
′′(𝑥) = 𝐶 cos(𝑥) − (𝐶𝑥 + 𝐷 + 𝐴) sin(𝑥) − 𝐴 sin(𝑥) + (−𝐴𝑥 − 𝐵 + 𝐶) cos(𝑥)
= (−𝐴𝑥 − 𝐵 + 2𝐶) cos(𝑥) + (−𝐶𝑥 − 𝐷 − 2𝐴) sin(𝑥)
On remplace cela dans (𝐸) Equations différentielles d’ordre 2 à coefficients constants Pascal Lainé …afficher plus de contenu…

+ ((−𝐶 − 2𝐴 + 5𝐶)𝑥 − 𝐷 − 2𝐴 − 2𝐵 + 2𝐶 + 5𝐷) sin(𝑥)
= (4𝑥 + 6) cos(𝑥) + (−2𝑥 + 6) sin(𝑥)
⇔ ((4𝐴 + 2𝐶)𝑥 + 2𝐴 + 4𝐵 + 2𝐶 + 2𝐷) cos(𝑥)
+ ((−2𝐴 + 4𝐶)𝑥 − 2𝐴 − 2𝐵 + 2𝐶 + 4𝐷) sin(𝑥)
= (4𝑥 + 6) cos(𝑥) + (−2𝑥 + 6) sin(𝑥) ⇔ {
4𝐴 + 2𝐶 = 4
2𝐴 + 4𝐵 + 2𝐶 + 2𝐷 = 6
−2𝐴 + 4𝐶 = −2
−2𝐴 − 2𝐵 + 2𝐶 + 4𝐷 = 6
⇔ {
2𝐴 + 𝐶 = 2
𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 3
−𝐴 + 2𝐶 = −1
−𝐴 − 𝐵 + 𝐶 + 2𝐷 =

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