espace vectoriel et applications linéaires

Pages: 13 (3208 mots) Publié le: 19 janvier 2014
Espaces vectoriels et applications
lin´aires
e

1

D´finitions
e

On parle d’espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les d´finitions sont les
e
mˆmes en substituant R ` C ou vice versa.
e
a
D´finition 1.1. Un espace vectoriel sur R (resp. sur C) est un ensemble E muni de deux
e
op´rations.
e
D’abord d’une addition, c’est ` dire qu’` tout couple v, w ∈ E on peutassocier v + w ∈ E
a
a
tel que les r`gles de calcul ordinaires dans Rn (resp. Cn ) aient lieu. A savoir
e
• (u + v) + w = u + (v + w) pour tous u, v, w ∈ E;
• u + v = v + u pour tous u, v ∈ E;
• u + v = v + u pour tous u, v ∈ E;
• il existe un ´l´ment not´ 0E tel que u + 0E = u pour tout u ∈ E; pour tout u ∈ E il
ee
e
existe un ´l´ment v ∈ E tel que u + v = 0E .
ee
De plus il existe uneapplication de R × E −→ E not´e (λ, v) −→ λ.v, telle que pour tout
e
λ, µ ∈ R (resp. C) et v, w ∈ E on ait
• 1.v = v;
• (λ + µ).v = λ.v + µ.v;
• λ.(µ.v) = (λµ).v;
• λ.(v + w) = λ.v + λ.w.
Dans la suite λ.v sera not´ λv pour simplifier.
e
Les ´l´ments de R ou C sont appel´s les scalaires, les ´l´ments de E les vecteurs. La
ee
e
ee
seconde op´ration est la multiplication par les scalaires.e
Le vecteur 0E est appel´ le vecteur nul, il sera not´ 0 simplement, on fera attention ` ne
e
e
a
pas le confondre avec 0 ∈ R ou 0 ∈ C. On a 0E .v = 0E (0v = 0 avec les notations all´g´es.
e e
On le montre en observant que v = 1.v = (1 + 0).v = 1.v + 0.v = v + 0.v, soit v = v + 0.v
puis en simplifiant.
le vecteur v tel que u + v = 0 est appel´ l’oppos´ il est not´ −u car il est ´gal `(−1)u.
e
e
e
e
a
Voici des exemples.
1. Si on consid`re Rn (resp. Cn ) en prenant pour addition l’addition terme ` terme
e
a
: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) et pour multiplication par les
scalaires λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ) on constate qu’on a un espace vectoriel.
1

2. L’ensemble des fonctions F(A, R) d’un sous-ensemble A de R(resp. C) dans R
(resp. C).
3. L’ensemble des fonctions continues C(]a, b[, R) d’un intervalle ]a, b[ de R dans R.
4. L’ensemble des fonctions d´rivables D(]a, b[, R) d’un intervalle ]a, b[ de R dans R.
e
5. L’ensemble des fonctions infiniment d´rivables D∞ (]a, b[, R) d’un intervalle ]a, b[ de
e
R dans R.
6. On peut ´videmment consid´rer dans les exemples pr´c´dents des intervalles ferm´s
ee
e e
e
a
` gauche ou ` droite.
a
7. L’ensemble des fonctions polynˆmes sur R (resp. C).
o
8. L’ensemble polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` un entier donn´ n sur R (resp.
o
e e
e
a
e
C).
9. L’ensemble des solutions d’une ´quation diff´rentielle lin´aire homog`ne (sans second
e
e
e
e
membre).
10. Les suites r´elles ou complexes.
e
D´finition 1.2. Un sous-espace vectorielF d’un espace vectoriel E est un sous-ensemble
e
F non-vide de E tel que :
• si u, v ∈ F alors u + v ∈ F ;
• si λ ∈ R, (resp C) alors λu ∈ F .
• L’exemple 7 ci dessus est un sous-espace vectoriel de l’exemple 6 qui est lui mˆme
e
un sous-espace de l’exemple 5.
• Rn−1 est un sous espace de Rn , identifiant Rn−1 aux n-uplets avec xn = 0.
• Si on consid`re le plan R2 avec son syst`me decoordonn´es standard toute droite
e
e
e
distincte passant par l’origine est un sous-espace (une droite qui ne passe pas par
l’origine n’est pas un sous-espace).

On rappelle que l’intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels est un
sous-espace vectoriel.
On notera que le sous-ensemble r´duit au vecteur nul 0 est un sous-espace not´ {0}, on
e
e
l’appel´ le sous-espacetrivial.
e
D´finition 1.3. (Somme de deux sous-espaces) Etant donn´s deux sous-espaces F et
e
e
G d’un espace E (on abr`ge sous-espace vectoriel eu sous-espace et espace vectoriel en
e
espace) leur somme not´e F + G est le sous-espace constitu´ par les vecteurs de la forme
e
e
u + v pour tout u ∈ F , v ∈ G.
Si F ∩ G = {0} la somme est dite directe, et dans ce cas on note F ⊕ G. On dit...
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