1 – DS4 [DS4sol.tex]

Sciences Physiques MP 2010-2011

Devoir surveill´ de Sciences Physiques n 4 du 07-12-2010 e ˚
— Dur´e : 4 heures. Solutions — e

Probl`me no 1 – Gain de temps et ´conomies d’´nergie e e e
A. Approche simplifi´e du comportement thermique d’un habitat e Mod´lisation sommaire e 1. On a Rth =
∆θ φ

CCP PC 2010

qui s’exprime en K · W−1 . dθ dt

2. On a φ = Cth dθ o` φ est en W, Cth en J · K−1 et u dt 4. En r´gime permanent, on a e dans l’habitation : φ0 = Mise en temp´rature e Mise en temp´rature sous flux constant e θc −θe Rth dθ dt

en K · s−1 . θ−θe Rth .

e e 3. La loi des nœuds permet d’exprimer le bilan ´nerg´tique. On a φ = Cth dθ + dt = 6 kW .

= 0. On peut alors en d´duire le flux n´cessaire pour maintenir la temp´rature e e e

φ0 e 5. L’´quation diff´rentielle qui r´sulte du bilan thermique peut encore s’´crire selon dθ + τθ0 = θ0 + Cth . La e e e e dt τ e solution est de la forme θ(t) = A exp − τt0 + θe + Rth φ0 . Cette solution peut encore ´voluer en tenant compte du fait que Rth φ0 = θc − θe . Avec la prise en compte de la condition initiale θ(t = 0) = θe , on arrive a : `

θ(t) = θc + (θe − θc ) exp − τt0 .

1 lorsque exp − τt0 = 20 . Cela conduit ` t = τ0 ln 20 ≃ 3τ0 . On trouve num´riquement τ0 = 7 500 s, ce qui fait 2 e a heures et 5 minutes et par cons´quent 3τ repr´sente 6 heures et 15 minutes. e e

` 6. A partir des calculs pr´c´dents, on peut ´crire que θc − θ(t) = (θc − θe ) exp − τt0 . Le temps de 5% est atteint e e e

Chauffage forc´ au d´part puis r´duit en fonction du temps e e e 7. Le bilan thermique ´volue uniquement par le second membre : e dθ dt

+

θ τ0

=

θe τ0

+

φ0 Cth

+

9φ0 Cth

8. La solution de l’´quation diff´rentielle est la somme de la solution g´n´rale A exp − τt0 et de deux soe e e e φ0 e lutions particuli`res, l’une constante correspondant ` cette partie du second membre θ0 + Cth qui donne e a τ t en fait θp1 = θc et l’autre de forme identique au second