Mr. Taoufik.Z Devoir de contrôle 1 (exp1)

Bac sc & tech

Exercice 1 : (3 points) Etudier la limite éventuelle en zéro de la fonction f sin x 1 1 1 a) f ( x)  x sin   ; b) f ( x)  2  sin   ; c) f ( x)  3 x x  x x Exercice 2 : (4 points) Soit g :    ; x  x3  3x  1 1) Dresser le tableau de variation de g 2) Montrer que l’équation g ( x)  0 admet dans  0,  exactement deux solutions x1 et 3) En déduire le signe de g ( x) pour x   0,  Exercice 3 : (3 points) Soit U n  une suite. On considère les propriétés suivantes : - P1 La suite U n  est majorée - P2 La suite U n  n’est pas majorée - P3 La suite U n  converge - P4 La suite U n  tend vers  - P5 La suite U n  est croissante 1) Donner la traduction mathématique de la propriété P1 2) Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on conclure pour U n  (On ne demande pas de justifier la réponse) ? 3) Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on conclure pour U n  (On ne demande pas de justifier la réponse) ? 4) Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 (Justifier la réponse) ? u n  vn  Exercice 4 : (4 points) u n 1   2 u et v sont les suites définies sur  par la donnée de u 0 et v0 et par  ; u 0  v0 u n 1  v n v   n 1 2  1) Montrer que u n  v n , u est croissante et v est décroissante 2) Soit w la suite définie par wn  v n  u n a) Montrer que w est une suite géométrique et déduire la limite de w b) Montrer que u et v convergent vers la même limite Exercice 5 : (6 points) On considère dans l’ensemble des nombres complexes a  2  i 2 et b  3  i 1) a) Ecrire a et b sous forme exponentielle b) Placer dans un plan rapporté à un repère orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)   2) Mettre a.b sous forme algébrique et forme trigonométrique, puis déduire cos et sin 12 12 a a 3) a) Mettre sous forme exponentielle puis 1  b b b) En déduire la forme exponentielle de a + b x2 telles que 0  x1  1  x2 