Ch 6 Nombres complexes

Correction des exercices type Bac

Exercice 5 Bac S – Amérique du Sud – Nov. 2005
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ;[pic] ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f .
Un point M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, sont image M’ a pour affixe z .
D’où M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, z = [pic]ou z[pic][pic]= 4 .
Or z[pic][pic] représente le module de z au carré (avec z = a + ib , z[pic][pic]= (a + ib)(a – ib) = a2 + b2 )
Donc M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, [pic]2 = 4 ou [pic]= 2 .
Conclusion : L’ensemble des points invariants par f est le cercle de centre O et de rayon 2 . 2) Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1 .
Si z’ = 1 alors l’égalité z’ = [pic] devient : 1 = [pic] d’où [pic]= 4, donc z = 4 .
On en déduit que seulement le point d’affixe 4 a pour image par f le point J d’affixe 1. 3) Soit [pic] un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A d’affixe [pic] admet un antécédent unique par f, dont on précisera l’affixe .
Si z’ = [pic] alors l’égalité z’ = [pic] devient : [pic] = [pic] d’où [pic]= [pic], donc z = [pic]
On obtient une écriture unique de z, en fonction de [pic].
Donc le point A d’affixe [pic] admet un seul antécédent par f : le point d’affixe [pic]. 4) a) Donner une mesure de l’angle ([pic] ; [pic]). Interpréter géométriquement ce résultat.
([pic] ; [pic]) = arg ([pic]) = arg ([pic]) = arg ([pic]) = arg ([pic]) = arg ([pic])
Or [pic]est un nombre complexe strictement positif donc ([pic] ; [pic]) = 0 + 2k[pic] ( k[pic]Z ) .
Une mesure de l’angle ([pic] ; [pic]) est 0 ce qui signifie géométriquement que les points O, M et M’