tulipe

Pages: 12 (2919 mots) Publié le: 5 janvier 2014
TS. Correction - Révision du premier semestre
E X 1 : ( 7 points )



→ →
− −
Le plan est rapporté au repère orthonormal O, u , v . Unité graphique : 3 cm

À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ′ d’affixe z ′ par l’application f qui admet pour écriture complexe :
z′ =

(3 + 4i) z + 5 z
6
C

1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives
z A = 1 + 2i, zB = 1 et zC = 3i.

N
Déterminer les affixes des points A′ , B′ , C′ images
respectives de A, B, C par f .
Placer les points A, B, C, A′ , B′ , C′ .
(3 + 4i) (1 + 2i) + 5 (1 − 2i) −5 + 10i + 5 − 10i
z A′ =
=
=0
6
6
(3 + 4i) (1) + 5 (1) 3 + 4i + 5 4 + 2i
=
=
z B′ =
6
6
3
C′
(D)
(3 + 4i) (3i) + 5 (−3i) −12 + 9i − 15i
N′
=
= −2 − i
z C′ =
6
6
2. On pose z = x + iy (avec x ety réels).
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z ′ en fonction de x et y.
(3 + 4i) x + iy + 5 x − iy

3x − 4y + i 4x + 3y + 5x − 5iy

A

A′

B

B′

4x − 2y
2x − y
+i
6
6
3
3

x ′ = 4x − 2y




3
avec z = x + iy par identification des parties réelles et imaginaires, j’obtiens :
 ′ 2x − y
y =
3
1
3. Montrer que l’ensemble des points Minvariants par f est la droite (D) d’équation y = x.
2
Tracer (D) . Quelle remarque peut-on faire ?

x = 4x − 2y

3x = 4x − 2y
1
3
L’affixe z = x + i y d’un point invariant vérifie z ′ = z ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒ y = x
2x − y

2
3y = 2x − y
y =
3
1
l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation y = x.
2
On remarque que les points A′ , B′ , C′ appartiennent à la droite(D).
z′ =

=

=

4. Soit M un point quelconque du plan et M ′ son image par f . Montrer que M ′ appartient à la droite (D).
4x − 2y
1
2x − y
2x − y 1
4x − 2y
= x ′ donc M ′ appartient à la droite (D).
+i
de M ′ vérifie y ′ =
= ×
3
3
3
2
3
2
z −z
z′ − z
z′ − z z + z
=
+i
.En déduire que le nombre
est réel.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe z :
zA
6
3
zAL’affixe z ′ =
5.

4iz − 3z + 5z (1 − 2i) −3z + 8z + 5z 4iz + 6iz − 10iz
z ′ − z (3 + 4i) z + 5z − 6z 4iz − 3z + 5z
=
=
=
=
+
zA
6z A
6 (1 + 2i)
30
30
30
z′ − z z + z
z −z
=
+i
zA
6
3
Je peux en déduire que

z ′ − z 2x
2iy x − 2y
=
+i
=
zA
6
3
3

c’est un nombre réel
avec z + z = 2Re (z) = 2x

et

z − z = 2iI m (z) = 2iy

b. En déduire que, si M ′ = M , les droites(OA) et (M M ′ ) sont parallèles.
z′ − z
−→ − − →
− −−
(O A , M M ′ ) = arg
= 0 [π]
zA

les droites (OA) et (M M ) sont parallèles.

Si M ′ = M , on a

puisque le nombre

z′ − z
est réel.
zA

6. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N ′ ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D) ). Effectuer la construction sur la figure.
• Si N ∈(D) le point est invariant donc N ′ = N
• Si N ∉ (D) le point N ′ est l’intersection de la droite (D) avec la parallèle à (OA) passant par N .

TS. Correction - Révision du premier semestre



E X 2 : ( 8 points )

Partie A : Restitution organisée de connaissances
ln x
et
tend vers +∞. Démontrer que lim
= 0.
On rappelle que lorsque t tend vers +∞, alors
x→+∞ x
t
Pour x > 0,

jepose x = et ⇐⇒ ln x = t

alors lim t = +∞

et

x→+∞

ln et
ln x
t
1
= lim
= lim t =
x→+∞ x
t →+∞ et
t →+∞ e
lim
lim

et
t →+∞ t

=0

1
Soit f la fonction définie sur − ; +∞ par f (x) = e4x − ln (2x + 1). On appelle C f la représentation graphique de f .
2
Partie B
Soit Φ la fonction définie sur R par Φ (x) = (8x + 4) e4x − 2
1.

a. Calculer la limite de Φ en +∞.

lim (8x + 4) = +∞
lim Φ (x) = +∞ en effet x→+∞ 4x
x→+∞
 lim e = +∞

donc par produit lim (8x + 4) e4x = +∞
x→+∞

x→+∞

b. Calculer la limite de Φ en −∞.

Au voisinage de −∞, l’exponentielle l’emporte dans un produit avec un polynôme donc lim (8x + 4) ex = 0
x→−∞

 lim (8x + 4) ex = 0
x→−∞
donc par produit lim (8x + 4) e4x = lim (8x + 4) ex × e3x = 0
x→−∞
x→−∞
 lim...
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