Polynômes et fractions rationnelles

Pascal Lainé

Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 1.
Factoriser dans ℝ[𝑋] et dans ℂ[𝑋] le polynôme 𝑃 = −𝑋 8 + 2𝑋 4 − 1
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2.
Soit 𝑃 = 1 − 𝑋 8
Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋], puis dans ℝ[𝑋] et enfin dans ℚ[𝑋]
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3.
2𝑖𝜋

Soit 𝑃 = (𝑋 + 1)7 − 𝑋 7 − 1. On note 𝑗 = 𝑒 3
1. Montrer que 1 + 𝑗 = −𝑗 2
2. Montrer que 𝑗 est une racine multiple de 𝑃.
3. Trouver deux racines réelles évidentes de 𝑃.
4. Factoriser 𝑃 en facteurs irréductibles dans ℂ[𝑋] et puis dans ℝ[𝑋].
Allez à : Correction exercice 3
Exercice 4.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
𝑃 (𝑋 ) = 𝑋 5 + 𝑋 4 + 𝑋 3 + 𝑋 2 + 𝑋 + 1
En déduire sa factorisation dans ℂ[𝑋] et dans ℝ[𝑋].
Allez à : Correction exercice 4
Exercice 5.
Soit 𝑃 = 𝑋 7 + 𝑋 6 + 𝑋 5 + 𝑋 4 + 𝑋 3 + 𝑋 2 + 𝑋 + 1
1. Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋].
2. Factoriser 𝑃 dans ℝ[𝑋].
3. Factoriser 𝑃 dans ℚ[𝑋].
Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
1 5
1
1
1
1
𝑃 (𝑋 ) =
𝑋 + 𝑋4 + 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1
32
16
8
4
2
En déduire sa factorisation dans ℂ[𝑋] et dans ℝ[𝑋].
Allez à : Correction exercice 6
Exercice 7.
Soit 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] défini par
𝑃 = 𝑋4 − 𝑋3 + 𝑋2 − 𝑋 + 1
1. Déterminer les racines de 𝑃.
2. Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋], puis dans ℝ[𝑋].
Allez à : Correction exercice 7
Exercice 8.
Factoriser dans ℂ[𝑋], puis dans ℝ[𝑋] le polynôme
1

Polynômes et fractions rationnelles

Pascal Lainé
𝑃 = −𝑋 5 + 𝑋 4 − 𝑋 3 + 𝑋 2 − 𝑋 + 1

Allez à : Correction exercice 8
Exercice 9.
1. Soit 𝑃 = −𝑋 3 + 𝑋 2 − 𝑋 + 1 un polynôme.
Factoriser ce polynôme dans ℝ[𝑋] et dans ℂ[𝑋].
2. Soit

𝑛

𝑃 = 1 − 𝑋 + 𝑋 2 − ⋯ + (−1)𝑛 𝑋 𝑛 = ∑(−1)𝑘 𝑋 𝑘
𝑘=0

Déterminer les racines réelles et complexes de 𝑃.
Allez à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Factoriser sur ℝ et sur ℂ le polynôme
𝑃 (𝑋 ) = 𝑋 6 + 𝑋 4 + 𝑋 2 + 1
Indication : 𝑃(𝑋) = 1 + 𝑋 2 + 𝑋