M´canique quantique I e http://itp.epfl.ch/page56915.html S´rie 6 e

25 avril 2006

Exercice 1 Commutation d’observables et fonctions d’observables

On consid`re deux observables A et B qui commutent avec [A, B]: e [[A, B], B] = [[A, B], A]] = 0 1. Etablir dans un premier temps la relation suivante : [An , B] = nAn−1 [A, B] (1)

2. Les fonctions analytiques d’op´rateurs peuvent ˆtre exprim´e par leur d´veloppement e e e e en s´rie, c’est ` dire, ´tant donn´ une fonction d´veloppable en s´rie enti`re g(u) = e a e e e e e n et un op´rateur A, on d´finit l’op´rateur g(A) = ˆ ˆ ˆn . cn u e e e cn A ˆ Ainsi on d´finit exp A = e suivante: eA Be−A = B + [A, B] 3. D´montrer la proposition suivante : e eA B n e−A = (B + [A, B])n 4. On d´finit la fonction des op´rateur A et B suivante (x r´el) : e e e f (x) = eAx eBx . e A l’aide de cette fonction nous allons d´montrer des propri´tes remarquables pour e les op´rateurs eA et eB . e • Montrer que : f ′ (x) = (A + B + x [A, B]) f (x) • D´montrer que g(x) est solution de cette equation : e g(x) = e(A+B)x e 2 x
1 2 [A,B]

ˆ An n! .

En utilisant ce d´veloppement, montrer la relation e

(2)

(3)

(4)

(5)

• Comparer f (0) et g(0). En d´duire la relation suivante: e eA+B = eA eB e− 2 [A,B] • En d´duire finalement que : e eA eB = eB eA e[A,B] (7)
1

(6)

Exercice 2 Application aux ´tats coh´rents e e

Dans cet exercice nous allons appliquer les formules de l’exercice pr´c´dent aux ´tats e e e coh´rents de l’oscillateur harmonique ` une dimension. e a 1. Appliquer la relation (1) de l’exercice pr´c´dent pour le cas particulier des observe e ables : A = iαˆ, B = x. p ˆ p e 2. Montrer que l’op´rateur e−iαˆ est un op´rateur de translation, i.e. : e p e−iαˆ|x = |x + α¯ h

(8)

3. En d´duire la relation suivante pour une fonction r´elle quelconque h(x) : e e

p e−iαˆh(x) = h(x + α¯ ) h

(9)

4. On propose d’appliquer ces r´sultats aux ´tats coh´rents de l’oscillateur harmonique. e e e e On