Exo 34

Pages: 7 (1624 mots) Publié le: 5 janvier 2011
Exercices corrigés de statistiques Exercice n°1 Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale (en m 3) utilisée par son exploitation depuis le premier jour et donne le résultat suivant :
Nombre de jours écoulés xi Volume utilisé (en m3) yi 1 2,25 3 4,3 5 8 8 17,5 10 27

Le plan est muni d'un repère orthogonal. On prendra pour unité sur l'axe des abscisses 1 cm pour1 jour et sur l'axe des ordonnées 0,5 cm pour 1 m3. 1) Représentez alors la série (xi;yi ). 2) Donnez l'équation de la droite des moindres carrés sous la forme y=ax+b (a et b sont les -2 arrondis à 10 près des valeurs lues sur la calculatrice). Représentez la droite sur le graphique.

3) Le nuage de points permet d'envisager un ajustement par la parabole P qui passe par des points A(1;2,25) etB(10;27), et qui a pour équation y=ax2+b où a et b sont deux nombres réels a) Déterminez a et b et donnez l'équation de la parabole P. b) Représentez la parabole P sur le graphique. 4) Dans cette question, on compare les deux ajustements à l'aide du tableau suivant : xi yi 1 2,25 2,54 0 3 4,3 0,91 0,05 5 8 2,71 0,25 8 17,5 10 27 Total T1 : Total T2 :

Les deux totaux calculés évaluent, pourchaque ajustement, la somme des écarts entre les ordonnées des points du nuage et les ordonnées des points de même abscisse de l'ajustement. Donnez les arrondis à 10-1 près des deux totaux T1 et T2 calculés ci-dessus. Déduisez l'ajustement qui paraît le mieux adapté.

Correction :

1) Les coordonnées du G sont données par

2) L »’équation de la droite et G

des moindres carrés est de la formey=ax+b avec

On obtient :en utilisant une calculatrice :

L’équation de la droite d’ajustement de y en x est donc y=2,74x-3,04 3) a) Si le point A(1;2,25) appartient à la parabole P d’équation y=ax2+b, alors les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la parabole, c’est-à-dire 2,25=ax12+ba+b=2,25 De même pour le point B : 27=ax102+b100a+b=27 On résout donc le

L’équation de laparabole est donc y=0,25x2+2 b)

4) xi yi 1 3 5 8 2,25 4,3 8 17,5 2,54 0,91 2,71 10 27 Total T1 : 17,06 Total T2 : 3,8

0

0,05 0,25

0

L'ajustement qui paraît le mieux adapté est celui pour lequel la somme des écarts est la plus faible. Il s’agit donc de l’ajustement à l’aide de la parabole P. Exercice n°2. l’exercice qui résume tout Le tableau suivant donne la dépense, en millionsd’euros, des ménages en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1999 : Année Rang xi de l'année Dépense yi 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 398 451 423 501 673 956 1077 1285 1427 1490

1) a) Dessiner le nuage de points Mi(xi ;yi) dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques 1 cm pour un rang en abscisse, 1cm pour200 millions d’euros en ordonnée. b) Déterminez les coordonnées de G, point moyen de nuage. Placez le point G. 2) Le modèle étudié dans cette question sera appelé « droite de Mayer » a) G1 désigne le point moyen des 5 premiers points du nuage et G2 celui des 5 derniers points. Déterminer les coordonnées de G1 et G2. Placez ces points sur le graphique précédent et tracez la droite (G1G2).Le point Gappartient-il à cette droite ?

b) Donnez l’équation de la droite (G1G2) sous la forme y=ax+b (on arrondira les coefficients à 0,1 prés)

c) Calculez la somme des carrés des résidus pour cet ajustement : d) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005. 3) Ajustement des moindres carrés a) Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droited'ajustement affine de y en x , sous la forme y=mx+p par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 0,1 près). b) Représenter D dans le repère précédent. c) Calculez la somme des carrés des résidus pour cet ajustement : . Conclusion ?

d) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005. 4) Ajustement logarithmique La croissance des...
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