NOMBRES COMPLEXES
1.

Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
, z2 = 1 − i

z1 = 1 + i
2.

,

√
1+i 3 z4 =
.
1−i

Calculer les nombres complexes suivants :
21

w1 = (1 + i)

3.

√
, z3 = 1 + i 3

,

w2 =

√
1+i 3
1−i

20

.

a) Soit x ∈ R. D´terminer le module du nombre complexe w = e 1 + ix
.
1 − ix

b) Montrer que tout nombre complexe de module 1, diff´rent de −1, peut s’´crire e e x ∈ R.
c) V´rifier que −1, ix, et e 4.

1 + ix ont des images align´es. Interpr´tation g´om´trique? e e e e
1 − ix

Soit z un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive. Soit w =

Montrer que |w| < 1. Interpr´tation g´om´trique ? e e e
5.

√
D´terminer les nombres entiers n tels que ( 3 + i)n ∈ R. e 6.

D´terminer z ∈ C pour que les nombres z, e 7.

Comment faut-il choisir z pour que les images de z, z 2 , z 4 soient align´es? e 8.

Soit u et v deux nombres complexes. Montrer que :

1
1 − z aient le mˆme module. e z

|u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) .
Interpr´tation g´om´trique ? e e e
9.

R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e
a) z 2 = −11

,

b) z 2 = −1 + 3i

, c) z 2 = 9 + 5i .

10.

R´soudre dans C l’´quation : z 2 − z + 7 = 0. e e

11.

R´soudre dans C l’´quation : z 2 − (5 − 14i)z − 24 − 10i = 0. e e

12.

Soit ω un nombre complexe quelconque. R´soudre l’´quation : e e z 2 − (2 + iω)z + 2 + iω − ω = 0 .

13.

1 + ix
, avec
1 − ix

R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e
a) z 3 + 1 = 0

,

b) z 4 − i = 0 ,
1

c) z 8 + 1 = 0 .

z−i
.
z+i

14. Trouver une condition sur le param`tre complexe a pour que l’´quation z + z 2 = a e e
¯
admette une solution r´elle. Lorsque cette condition est satisfaite, r´soudre l’´quation. e e e 15.

Exprimer sin 5θ en fonction de sin θ.

16.

a) Montrer qu’il existe des constantes A et B (que l’on d´terminera) telles que e cos3 θ