VI- EXERCICES

Exercices

Transformée en Z et le filtrage numérique
Le but de cette séquence est de savoir calculer des transformées en Z puis de mettre en application ces calculs sur quelques exemples de filtrage. Les notions nécessaires seront quelques notions de calcul sur les séries et la pratique du filtrage.

1. Echantillonnage et l'interférence entre symboles.
Soit un signal discret x(n). Considérons deux échantillons x(0)=1 et x(1)=-1. Ces échantillons sont transmis sous la forme de deux impulsions : e(t)=x(0).δ(t)+ x(1).δ(t-T).
1. Représentez e(t). e(t)= δ(t) - δ(t-T) e(t) T t 0
Le signal est transmis sur un canal à bande limitée. Nous considérons le canal comme un filtre linéaire stable dont la fonction de transfert est H(f)=(1/B).rect(f/B). Le signal reçu est r(t). e(t) r(t)

Canal : H(f)

2. Quelle est la réponse impulsionnelle du canal ? h(t) = sinc(Bt)
3. Quel est le signal reçu ? r(t)=h(t)*e(t)= sinc(Bt) - sinc(B(t-T))
4. Représentez sur un même graphe les composantes du signal reçu correspondant à x(0) et à x(1) pour T=1/(2.B) (il est inutile de représenter la somme). Faites de même pour T=1/B.
1
0.64

e d ut i pl m A

T=1/(2B)

x0 x1 0

-0.64
-1

1 e d ut i pl m
A

0

T

Temps

T=1/B

x0 x1 0

-1

0

T

Temps

VI-1

Exercices
5. Le signal reçu est échantillonné ; deux valeurs sont obtenues : r(0) et r(T). Qu'obtenez vous pour les valeurs de T précédemment choisies ? Commentez en introduisant les notions d'interférences entre symboles, de rapport signal à bruit et de taux d'erreurs binaires.
(Remarque : on prendra sinc(1/2)=0.64)
Si T=1/(2B),

r(0) = sinc(0) - sinc(B(0-T)) = 1 – 0.64 = 0.36 r(T) = sinc(BT) - sinc(B(T-T)) = 0.64 – 1 = - 0.36

Si T=1/B,

r(0) = sinc(0) - sinc(B(0-T)) = 1 – 0 = 1 r(T) = sinc(BT) - sinc(B(T-T)) = 0 – 1 = - 1

6. Qu'en concluez-vous sur les choix de T et sur B ?
T et B sont donc liés si on veut optimiser la puissance du signa reçu au décodage. Le choiw de
T=1/B permet de supprimer l’influence d’un bit sur le