Exos maths spé

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CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES

Chapitre 9

Exercices de colles
9.1
9.1.1
1. 2. 3. 4. 5. 6.

Semaine 1
Le programme
R´visions sur l’int´gration d’une fonction continue par morceaux sur un segment. e e R´visions sur les suites num´riques. e e Notions de d´nombrabilit´. e e Fonctions int´grables sur un intervalle. e Th´or`mes de convergence (monotone et domin´e). e e e Continuit´ et d´rivabilit´ sous le signe . e e e Table des mati`res e Aller ` la page suivante→ a

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9.1. SEMAINE 1

CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES

9.1.2

Les exercices
+∞ 0

Exercice 9.1.1 Soient a, b > 0, montrer l’existence, puis calculer par deux m´thodes diff´rentes : e e e−at − e−bt dt. t
1 n+1

Exercice 9.1.2 On pose : Ik = 1. Montrer que : Ik converge et calculer Ik . 2. Montrer que : Jn → 0. 3. Calculer
0

1

tk ln t dt et Jn =

t

0

ln t dt. 1 + t2

1 0

ln t dt. 1 + t2
+∞

Exercice 9.1.3 f (x) =
0

+∞

sin xt dt, g(x) = t(1 + t2 )

0

cos xt dt, h(x) = 1 + t2

+∞ 0

t sin xt dt. 1 + t2

D´terminer les domaines de d´finition et calculer les fonctions (On cherchera une ´quation diff´rentielle lin´aire d’ordre 2 e e e e e en f .) Exercice 9.1.4 Soient f et ϕ : R+ → R∗ continues : + ´ Etudier n→+∞ +∞ f (t)ϕ(t)n+1 dt 0 . +∞ f (t)ϕ(t)n dt 0

lim

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CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES Exercice 9.1.5 Soit : f (x) =
∞ 0

9.1. SEMAINE 1

+∞

e−tx dt. 1 + t2

1. V´rifier que f est continue sur R+ , C sur e 2. Calculer f (x) + f (x) pour x > 0 et la limite de f en +∞. 3. Montrer que : ∀x > 0, f (x) = 4. En d´duire que : e
0 +∞ x

R∗ . +

+∞

sin(t − x) dt. t

sin t π dt = . t 2

Exercice 9.1.6 Soit n ∈ N, x ∈]0, π[. Calculer In = π 0

cos(nt) − cos(nx) dt. cos t − cos x

Indication : chercher a, b et c

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