Chapitre

1

Divisibilité dans 

1. Page d’ouverture

• Problème 2

Soit n le nombre choisi par Coraline. n s’écrit ab en écriture décimale, où a et b sont des nombres entiers naturels compris entre 0 et 9.
Si a  b :
( a + b ) + ab + a - b = 35, donc a(2 + b ) = 35. a et 2 + b sont diviseurs de 35.
Les diviseurs positifs de 35 sont 1, 5, 7 et 35.
• a = 1 et b = 33 : impossible.
• a = 5 et b = 5 : convient.
• a = 7 et b = 3 : convient.
• a = 35 et b = -1 : impossible.
Si a  b :
( a + b ) + ab + b - a = 35, donc b(2 + a ) = 35.
Par symétrie, a = 3 et b = 7 convient aussi.
Conclusion : n = 55 ou n = 37 ou n = 73.

a) En écrivant la division euclidienne de 45 par le nombre entier naturel y, 45 = y ¥ q + r avec 0 ഛ r Ͻ y.
La condition « quotient égal au reste » se traduit par :
45 = y ¥ x + x et 0 ഛ x Ͻ y, donc 45 = ( y + 1) x et 0 ഛ x Ͻ y.
b) Les diviseurs positifs de 45 sont 1, 3, 5, 9, 15 et 45.
On envisage tous les cas.
• Si x = 1, alors y + 1 = 45, soit x = 1 et y = 44.
Dans la division euclidienne de 45 par 44, le quotient est égal au reste et vaut 1.
• Si x = 3, alors y + 1 = 15, soit x = 3 et y = 14.
Dans la division euclidienne de 45 par 14, le quotient est égal au reste et vaut 3.
• Si x = 5, alors y + 1 = 9, soit x = 5 et y = 8.
Dans la division euclidienne de 45 par 8, le quotient est égal au reste et vaut 5.

• Énigme ✱✱

• Problème 3

• Énigme ✱

L’idée est la suivante : le joueur est certain de gagner quand au dernier tour, le joueur adverse a une somme de 16. En effet, si le joueur adverse ajoute 1, il ajoutera 3, s’il ajoute 2, il ajoutera 2 aussi et s’il ajoute 1, il ajoutera 3.
En utilisant cette idée et en remarquant que 20 = 4 ¥ 5
(division euclidienne de 20 par 4), le joueur qui veut gagner peut adopter la stratégie suivante : il laisse son adversaire commencer et à chaque tour, il ajoute le nombre nécessaire à l’obtention d’un multiple de 4.

2. Résoudre des problèmes

© Nathan.