Fiche methode derivation en 1s
1455 mots
6 pages
FICHE METHODE Dérivation en 1ère S§ 1 : Comment calculer un nombre dérivé ? Méthode 1 : on revient à la définition du nombre dérivé d'une fonction en un réel a. Rappel : Soit f une fonction définie sur un intervalle I (non réduit à un point) et a un réel appartenant à I. On dit que f est dérivable en a si la limite lorsque h tend vers 0 du quotient f ah− f a existe et est finie. Cette limite se note f ' a et s'appelle le nombre dérivé h de f en a. Remarque : on utilise cette méthode pour calculer la dérivée des fonctions usuelles. Dans la pratique, elle est peu employée sauf dans des exercices théoriques ou si c'est explicitement précisé dans l'énoncé. Exemple : En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer f ' 2 où f est la fonction définie sur ℝ par f x = −2 x 23 x – 1 . Solution : On justifie d'abord que f est dérivable sur ℝ en remarquant que c'est une fonction polynôme. f 2h− f 2 Étape 1 : On transforme l'écriture (ici a = 2 comme on veut calculer f ' 2 ). h f 2h− f 2 −22h232h−1−−2×22 3×2−1 Soit h≠0 . = , soit h h f 2h− f 2 −244 hh2 63 h−1−−3 −2 h 2−5 h = = = −2 h−5 . h h h Etape 2 : on conclut en faisant tendre h vers 0. −2 h – 5 tend vers −5 lorsque h tend vers 0. On en déduit que f est dérivable en 2 et que f ' 2 = −5 . Un bon exercice théorique utilisant la définition de f ' a formules opératoires sur la dérivation. Faire l' exercice 81 p79. consiste à démontrer toutes les
Méthode 2 : on utilise le tableau des dérivées usuelles et celui des règles opératoires. 5 x 2 – 2 x4 Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ ∖{−3} par f x = . Calculer x 3 f ' x après avoir justifié son existence. En déduire le nombre dérivé de f en 0. Solution : f est dérivable sur ]-∞ ; -3[ et sur ]-3 ; +∞[ comme quotient de deux fonctions dérivables u x sur ]-∞ ; -3[ et sur ]-3 ; +∞[. f x = avec u x = 5 x 2−2 x4 et v x = x3 . vx u ' x = 10 x−2 et v ' x = 1 . On a donc pour tout