Fiche probabilité
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PROBABILITES & STATISTIQUE RESUME Introduction Moyenne arithmétique :x = (1/n)*∑xi avec y = cx+d La médiane :
[ ] [ ]
x = x (n+1)/2 pour n impair = (x n/2 + x n/2 + 1)/2 pour n pair
[ ] [ ] [ ]
Le milieu étendu : m = 0.5*(x 1 + x n ) Caractéristiques de dispersion : variance : s2 = 1/(n-1) [∑xi2 – nx2] étendue : e = x n - x 1 Le box-plot :
[ ] [ ]
écart-type : s, racine carrée de la variance
A1…..
Q(25%)
x
Q(75%)
…..A2
A1 : la + petite observation = Q(0.25) – 1.5*(Q(0.75) – Q(0.25)) A2 : la + gde observation = Q(0.25) + 1.5*(Q(0.75) – Q(0.25)) Lois bivarieés : y = ax + b covariance : Cov(x,y) = 1/(n-1) [∑xiyi - nxy] corrélation : r = (Cov(x,y))/(Sx2*Sy2)1/2 Sx2 = 1/(n-1) [∑xi2 – nx2] = (1/(n-1))*Sxx Principe des moindres carrés : la meilleure droite possible y = ax +b b = Sxy/Sxx a = y – bx Probabilités Modèle probabiliste :
P(A) ≥ 0 P(Ω) = 1 A∩B = 0 si A & B disjoints, P(A∪B) = P(A) + P(B) P(0) = 0 P(Ac) = 1-P(A) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Généralisation : P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(A∩C) Probabilité conditionnelle : P(A⎜B) = P(A∩B)/P(B) P(A) = ∑ P(A⎜Bi)*P(Bi) Formule de Bayes : P(Bj⎜A) = P(A∩Bj)/P(A) = P(A⎜Bj)*P(Bj)/P(A) = [P(A⎜Bj)*P(Bj) ]/ [∑ P(A⎜Bi)*P(Bi) ] Notion d’indépendance : P(A⎜B) = P(A) si A & B sont indpdts P(A∩B) = P(A)*P(B) Variables aléatoires : X Loi de probabilités : soit p(xi) = P(X = xi) la probabilité que X = xi ∑ P(X = xi) = 1 si X est discrète, la loi de proba : X=xi x1 x2… P(X=xi) P1 P2… 1 f(x) ≥ 0 ∫f(x)dx = 1 sur tt domaine P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx sur [a,b]
si X est continue on définit une fonction f(x) de densité telle que : Fonction de répartition pour une v.a discrète :
F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(x)dx f(x) = (F(x))’ Propriétés : 0 ≤ F(x) ≤ 1, monotone décroissante, continue à droite.
Loi de probabilité simultanée : N1 N2 1 2 3 4 P(N1=n1) 1 1/10 1/10 1/10 1/10 4/10 3/10 2 1/10 1/10 1/10
ex) 3 1/10 1/10
transistors défectueux N1 : nb de tests effectués pr 1er