Fonctions de la variable réelle

Pages: 86 (21308 mots) Publié le: 15 mars 2013
Fonction de la variable réelle Licence de Sciences et Technologie 2ème semestre 2007-2008
Marie-Odile Perrain avec la collaboration de Nicolas Fournier

2

Chapitre 1

FONCTIONS : GENERALITES LIMITES - CONTINUITE
1.1
1.1.1

Généralités
Définitions

Définition 1.1.1. On appelle fonction numérique de la variable réelle toute fonction f de E vers F avec E et F sous-ensembles de R.L’ensemble des réels ayant une image est appelé ensemble de définition de f et est noté D ou Df . Remarques 1. Pour simplifier le langage dans la suite on dira f fonction numérique ou f fonction. 2. Une fonction f de E vers F dont l’ensemble de définition est E est une application de E vers F . 3. Souvent f est donné par une formule, l’ensemble de définition D de f est le plus grand sous-ensemble de R (ausens de l’inclusion) tel que pour tout x ∈ D, l’expression f (x) ait un sens. Exemple. √ f (x) = x D = R+ . x f (x) = (x−1)(x+2) D = R \ {−2, 1}. 4. Lorsque nous considérons une fonction définie sur un intervalle I, il est sous-entendu que I est non vide et non réduit à un seul élément. (I ￿=]a, a[ et I ￿= [a, a] avec a ∈ R). Notations On note f : D → R une fonction définie sur D. f (D) = {f (x), x ∈D} l’image de D par f . f −1 {0} = {x ∈ D, f (x) = 0} le noyau de f . Γ = {(x, f (x)); x ∈ D} le graphe de f (Γ est parfois noté Γf ). → → − − Représentation du graphe Soit un plan muni d’un repère (O, i , j ) (en général orthonormé). 3

4

CHAPITRE 1. FONCTIONS : GENERALITES - LIMITES - CONTINUITE

On note C = {M (x, f (x)); x ∈ D}. → → − − C est la courbe représentative de f dans lerepère (O, i , j ).

1.1.2

Exemples

Exemples 1.1.1. Fonction identité R → R La fonction id : est appelée fonction identité. x ￿→ x Exemples 1.1.2. Fonction caractéristique d’un ensemble A Soit A ⊂ R. R → R ￿ 1 si x ∈ A est appelée fonction caractéristique de A. La fonction 1A : x ￿→ 0 si x ￿∈ A Exemples 1.1.3. Fonction polynôme Soient n ∈ N et (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 avec an ￿= 0. R → RLa fonction P : est appelée fonction polynôme de degré x ￿→ a0 + a1 x + · · · + an xn n. R → R La fonction P : est appelée fonction polynôme nulle de degré −∞. x ￿→ 0 ￿n ￿n P (x) = k=0 ak xk = i=0 ai xi (k et i sont des symboles "muets"). Exemples 1.1.4. Fonction rationnelle Soient P et Q deux polynômes, D = {x ∈ R; Q(x) ￿= 0} D → R La fonction f : P (x) est appelée fonction rationnelle. x ￿→ Q(x)Exemples 1.1.5. Fonction en escalier Soient a et b deux réels avec a < b, n ∈ N∗ , (a0 , . . . , an ) ∈ [a, b]n+1 avec a = a0 < a1 < · · · < an = b et (λ0 , . . . , λn−1 ) ∈ Rn . f est dite en escalier si : ∀i ∈ {0, . . . , n − 1}, ∀x ∈]ai , ai+1 [, f (x) = λi . Exemple. E(x) = [x] = max{k ∈ Z, k ≤ x} et [a, b] = [−1, 3]. Exemples 1.1.6. Fonctions ln, exp R∗ → R ln est la primitive sur R∗ de f: + 1 qui s’annule pour x = 1 + x ￿→ x R → R∗ + exp est la fonction réciproque de ln, exp : x ￿→ ex Exemples 1.1.7. Fonctions trigonométriques → → − − Dans le plan P orienté muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j ), on note I(1, 0), J(0, 1) et C le cercle de centre O et de rayon 1. Soient x ∈ [0, 2π] et M le point de C tel − −→ → − que la mesure (en radians) de l’angle orienté (OI, OM )soit égale à x, on note OH la projection orthogonale de M sur (OI) et OK la projection orthogonale de M sur (OJ). Par définition, on pose sin x = OK et cos x = OM . sin est définie sur R et 2π périodique. cos est définie sur R et 2π ￿ périodique. ￿ sin x tan x = cos x Dtan = R \ π + kπ; k ∈ Z 2

1.1. GÉNÉRALITÉS Exemples 1.1.8. Fonctions hyperboliques R → R La fonction sh : est appelée sinushyperbolique. x −x x ￿→ e −e 2 R → R La fonction ch : est appelée cosinus hyperbolique. x −x x ￿→ e +e 2 R → R La fonction th : est appelée tangente hyperbolique. x ￿→ shx chx On a : ∀x ∈ R, ch2 x − sh2 x = 1.

5

1.1.3

Fonctions périodiques, paires et impaires

Définition 1.1.2. Soit f une fonction définie sur D. f est périodique s’il existe un réel T > 0 tel que pour tout x ∈ D, x + T ∈ D, x...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Chapitre 1 Fonction d'une variable réelle
  • Etude des extremums locaux des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
  • Fonctions de plusieurs variables
  • Optimisation d'une fonction à deux variables
  • Cour l1 maths : fonctions de plusieurs variables
  • En quoi la poésie a t-elle pour fonction de sublimer le reel ?
  • 2F2 Fonctions num E9riques d une variable r E9elle E9l E8ves
  • Variable

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !